Номер 14.21, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.21. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая параллельна основаниям и пересекает боковые стороны трапеции в точках $M$ и $K$. Найдите отрезок $MK$, если основания трапеции равны $a$ и $b$.

14.21. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая параллельна основаниям и пересекает боковые стороны трапеции в точках $M$ и $K$. Найдите отрезок $MK$, если основания трапеции равны $a$ и $b$.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой основания $AD = a$ и $BC = b$. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Через точку O проведена прямая, параллельная основаниям, которая пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и K соответственно. Необходимо найти длину отрезка MK.

Длина искомого отрезка MK складывается из длин отрезков MO и OK: $MK = MO + OK$. Найдем длины этих отрезков по отдельности, используя метод подобных треугольников.

1. Нахождение длины отрезка MO

Рассмотрим треугольник ABD. Поскольку прямая MK по условию параллельна основанию AD, то и ее часть, отрезок MO, также параллелен AD ($MO \parallel AD$).

Треугольник MBO подобен треугольнику ABD ($\triangle MBO \sim \triangle ABD$) по двум углам:

• $\angle ABD$ — общий угол.
• $\angle BMO = \angle BAD$ — как соответственные углы при параллельных прямых MO и AD и секущей AB.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$\frac{MO}{AD} = \frac{BO}{BD}$
Подставляя $AD = a$, получаем:
$MO = a \cdot \frac{BO}{BD}$

Чтобы найти MO, необходимо определить отношение $\frac{BO}{BD}$. Для этого рассмотрим треугольники, образованные пересечением диагоналей.

Треугольники BOC и DOA подобны ($\triangle BOC \sim \triangle DOA$) по двум углам:

• $\angle BOC = \angle DOA$ — как вертикальные углы.
• $\angle CBO = \angle ADO$ — как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Из подобия этих треугольников следует:
$\frac{BO}{DO} = \frac{BC}{AD} = \frac{b}{a}$
Выразим DO через BO: $DO = BO \cdot \frac{a}{b}$.
Полная длина диагонали BD равна сумме ее частей: $BD = BO + DO$.
$BD = BO + BO \cdot \frac{a}{b} = BO \left(1 + \frac{a}{b}\right) = BO \frac{a+b}{b}$
Отсюда находим искомое отношение:
$\frac{BO}{BD} = \frac{BO}{BO \frac{a+b}{b}} = \frac{b}{a+b}$

Теперь подставим найденное отношение в формулу для MO:
$MO = a \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$

2. Нахождение длины отрезка OK

Длину отрезка OK можно найти аналогично. Рассмотрим треугольник ACD. Так как $OK \parallel AD$, то треугольник CKO подобен треугольнику CDA ($\triangle CKO \sim \triangle CDA$).

Из подобия следует:
$\frac{OK}{AD} = \frac{CO}{CA}$

Из ранее доказанного подобия $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ мы также знаем, что $\frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD} = \frac{b}{a}$.
Выразим AO через CO: $AO = CO \cdot \frac{a}{b}$.
Длина диагонали CA равна $CA = CO + AO = CO + CO \cdot \frac{a}{b} = CO \left(1 + \frac{a}{b}\right) = CO \frac{a+b}{b}$.
Тогда отношение $\frac{CO}{CA} = \frac{CO}{CO \frac{a+b}{b}} = \frac{b}{a+b}$.

Подставляя это отношение в выражение для OK, получаем:
$OK = AD \cdot \frac{CO}{CA} = a \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$

3. Нахождение длины отрезка MK

Мы выяснили, что $MO = OK = \frac{ab}{a+b}$. Это означает, что точка пересечения диагоналей O делит отрезок MK пополам.

Теперь найдем общую длину MK:
$MK = MO + OK = \frac{ab}{a+b} + \frac{ab}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}$

Эта величина представляет собой среднее гармоническое длин оснований трапеции.

Ответ: $\frac{2ab}{a+b}$