Номер 15.5, страница 114 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.5. На стороне CD параллелограмма ABCD отметили точку E, прямые BE и AD пересекаются в точке F (рис. 15.13), $CE = 8$ см, $DE = 4$ см, $BE = 10$ см, $AD = 9$ см. Найдите отрезки EF и FD.

Рис. 15.13

15.5. На стороне $CD$ параллелограмма $ABCD$ отметили точку $E$, прямые $BE$ и $AD$ пересекаются в точке $F$ (рис. 15.13), $CE = 8$ см, $DE = 4$ см, $BE = 10$ см, $AD = 9$ см. Найдите отрезки $EF$ и $FD$.

Рис. 15.13

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, $BC \parallel AD$ и $BC = AD$. Из условия известно, что $AD = 9$ см, значит, $BC = 9$ см.

Точка $F$ является точкой пересечения прямых $BE$ и $AD$. Это означает, что точка $F$ лежит на прямой $AD$. Таким образом, прямые $AD$ и $AF$ совпадают. Так как $BC \parallel AD$, то и $BC \parallel AF$, а следовательно, $BC \parallel FD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle FDE$. Они подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников):
1. $\angle CEB = \angle DEF$ (как вертикальные углы).
2. $\angle CBE = \angle EFD$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AF$ и секущей $BF$).

Так как треугольники подобны, их соответствующие стороны пропорциональны:
$$ \frac{BC}{FD} = \frac{CE}{DE} = \frac{BE}{EF} $$

Подставим известные значения из условия задачи: $CE = 8$ см, $DE = 4$ см, $BE = 10$ см, и $BC = 9$ см.
$$ \frac{9}{FD} = \frac{8}{4} = \frac{10}{EF} $$

Из соотношения $\frac{8}{4}$ находим коэффициент подобия треугольников:
$$ k = \frac{8}{4} = 2 $$

Теперь мы можем найти неизвестные отрезки $EF$ и $FD$.

Нахождение отрезка FD
Воспользуемся пропорцией $\frac{BC}{FD} = k$:
$$ \frac{9}{FD} = 2 $$
Отсюда находим $FD$:
$$ FD = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ см} $$ Ответ: $FD = 4.5$ см.

Нахождение отрезка EF
Воспользуемся пропорцией $\frac{BE}{EF} = k$:
$$ \frac{10}{EF} = 2 $$
Отсюда находим $EF$:
$$ EF = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} $$ Ответ: $EF = 5$ см.