Номер 15.11, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.11. Из вершины прямого угла треугольника опущена высота на гипотенузу. Сколько подобных треугольников образовалось при этом?

15.11. Из вершины прямого угла треугольника опущена высота на гипотенузу. Сколько подобных треугольников образовалось при этом?

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Из вершины $C$ опустим высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. Эта высота делит исходный треугольник на два новых треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$. Таким образом, у нас образовалось всего три треугольника: исходный $\triangle ABC$ и два новых $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$.

Докажем, что все три треугольника подобны друг другу, используя признак подобия по двум углам.

1. Сравним $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$.
Эти треугольники имеют общий острый угол $\angle A$. Также оба треугольника являются прямоугольными: $\angle AHC = 90^\circ$ (так как $CH$ — высота) и $\angle ACB = 90^\circ$ (по условию). Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны: $\triangle ACH \sim \triangle ABC$.

2. Сравним $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$.
Эти треугольники имеют общий острый угол $\angle B$. Оба также являются прямоугольными: $\angle CHB = 90^\circ$ и $\angle ACB = 90^\circ$. Следовательно, по двум углам, треугольники подобны: $\triangle CBH \sim \triangle ABC$.

3. Вывод.
Мы доказали, что $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ и $\triangle CBH \sim \triangle ABC$. Так как отношение подобия транзитивно, то все три треугольника подобны друг другу: $\triangle ACH \sim \triangle CBH \sim \triangle ABC$.

Таким образом, в результате опускания высоты из вершины прямого угла на гипотенузу образуется три подобных треугольника.

Ответ: 3.