Номер 15.13, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.13. Докажите, что в подобных треугольниках биссектрисы, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

15.13. Докажите, что в подобных треугольниках биссектрисы, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Пусть даны два подобных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

По определению подобных треугольников, их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Пусть коэффициент подобия равен $k$.

$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Проведём в этих треугольниках биссектрисы $BD$ и $B_1D_1$ из вершин соответственных углов $B$ и $B_1$ соответственно. Нам необходимо доказать, что отношение этих биссектрис также равно коэффициенту подобия $k$, то есть $\frac{BD}{B_1D_1} = k$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. Чтобы доказать, что отношение их сторон $\frac{BD}{B_1D_1}$ равно $k$, докажем, что эти треугольники подобны.

1. Угол $\angle A$ треугольника $\triangle ABD$ равен углу $\angle A_1$ треугольника $\triangle A_1B_1D_1$, так как это соответственные углы в подобных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Таким образом, $\angle A = \angle A_1$.

2. Угол $\angle ABD$ является половиной угла $\angle B$, так как $BD$ — биссектриса. То есть, $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$.

3. Аналогично, угол $\angle A_1B_1D_1$ является половиной угла $\angle B_1$, так как $B_1D_1$ — биссектриса. То есть, $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$.

4. Поскольку исходные треугольники подобны, их соответственные углы равны: $\angle B = \angle B_1$. Следовательно, равны и их половины: $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ есть две пары равных углов: $\angle A = \angle A_1$ и $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$. По первому признаку подобия треугольников (по двум углам) следует, что $\triangle ABD \sim \triangle A_1B_1D_1$.

Из подобия треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{BD}{B_1D_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$

Мы знаем, что отношение $\frac{AB}{A_1B_1}$ равно коэффициенту подобия $k$ исходных треугольников. Следовательно, отношение биссектрис, проведённых из соответственных углов, также равно коэффициенту подобия:

$\frac{BD}{B_1D_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В подобных треугольниках отношение биссектрис, проведённых из вершин соответственных углов, равно отношению соответственных сторон (коэффициенту подобия).