Номер 15.7, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.7. Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O. Найдите основание AD, если $BO : OD = 3 : 7$, $BC = 18$ см.

15.7. Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$. Найдите основание $AD$, если $BO : OD = 3 : 7$, $BC = 18$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, образованные пересечением диагоналей $AC$ и $BD$ в трапеции $ABCD$.

Так как $ABCD$ — трапеция, её основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Углы $\angle BOC$ и $\angle DOA$ равны, так как они являются вертикальными. Углы $\angle CBO$ и $\angle ADO$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.

Следовательно, треугольник $\triangle BOC$ подобен треугольнику $\triangle DOA$ по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{BO}{DO} = \frac{BC}{AD} $$

По условию задачи дано, что $BO : OD = 3 : 7$ и $BC = 18$ см. Подставим эти значения в пропорцию: $$ \frac{3}{7} = \frac{18}{AD} $$

Теперь найдем длину основания $AD$, решив уравнение: $$ 3 \cdot AD = 7 \cdot 18 $$ $$ AD = \frac{7 \cdot 18}{3} $$ $$ AD = 7 \cdot 6 $$ $$ AD = 42 \text{ см} $$

Ответ: 42 см.