Номер 15.14, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.14. Докажите, что в подобных треугольниках высоты, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

15.14. Докажите, что в подобных треугольниках высоты, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Пусть даны два подобных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

По определению подобия треугольников, их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны с некоторым коэффициентом подобия $ k $:
$ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle B = \angle B_1 $, $ \angle C = \angle C_1 $
$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $.

Проведём в этих треугольниках высоты $ BH $ и $ B_1H_1 $ из вершин соответственных углов $ B $ и $ B_1 $ к сторонам $ AC $ и $ A_1C_1 $ соответственно. Нам необходимо доказать, что $ \frac{BH}{B_1H_1} = k $.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $.

Поскольку $ BH $ и $ B_1H_1 $ — высоты, они перпендикулярны сторонам, к которым проведены, следовательно, $ \angle BHA = 90^\circ $ и $ \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ $. Таким образом, треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ являются прямоугольными.

В этих прямоугольных треугольниках:

• $ \angle A = \angle A_1 $ (как соответственные углы в подобных треугольниках $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $).
• $ \angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ $ (по определению высоты).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия $ \triangle ABH \sim \triangle A_1B_1H_1 $ следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$ \frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AB}{A_1B_1} $

Так как из подобия исходных треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ мы знаем, что $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $, то мы можем заключить:

$ \frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $

Таким образом, доказано, что в подобных треугольниках высоты, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение высот, проведённых из вершин соответственных углов в подобных треугольниках, равно отношению соответственных сторон (коэффициенту подобия).