Номер 15.21, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.21. Может ли прямая пересекать две стороны равнобедренного треугольника, отсекать от него треугольник, ему подобный, и не быть параллельной третьей стороне?

15.21. Может ли прямая пересекать две стороны равнобедренного треугольника, отсекать от него треугольник, ему подобный, и не быть параллельной третьей стороне?

Да, такая прямая существует. Это возможно, если исходный равнобедренный треугольник не является равносторонним.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, в котором $AB = BC$ и углы при основании равны: $∠A = ∠C = α$. Угол при вершине $B$ равен $β$. Известно, что сумма углов треугольника равна $180°$, поэтому $2α + β = 180°$. Мы предполагаем, что треугольник не равносторонний, то есть $α ≠ β$.

Проведём прямую $l$, которая пересекает боковую сторону $BC$ в точке $M$ и основание $AC$ в точке $N$. Эта прямая отсекает от треугольника $ABC$ треугольник $MNC$. Третья сторона исходного треугольника, которую прямая $l$ не пересекает, — это сторона $AB$.

Для того чтобы отсечённый треугольник $MNC$ был подобен исходному треугольнику $ABC$, их углы должны быть равны. У треугольников $ABC$ и $MNC$ есть общий угол $∠C = α$. Следовательно, два других угла треугольника $MNC$ должны быть равны $α$ и $β$ (в каком-то порядке), чтобы он был подобен треугольнику $ABC$, у которого набор углов $\{α, α, β\}$.

Рассмотрим случай, когда углы треугольника $MNC$ распределены следующим образом: $∠C = α$, $∠CMN = α$ и $∠MNC = β$.Проверим, возможно ли такое. Сумма углов в треугольнике $MNC$ должна быть $180°$:$∠C + ∠CMN + ∠MNC = α + α + β = 2α + β$.Так как для исходного треугольника $ABC$ выполняется равенство $2α + β = 180°$, то и для треугольника $MNC$ сумма углов составляет $180°$. Таким образом, треугольник с такими углами существует, и он подобен треугольнику $ABC$ по трём углам.

Теперь проверим, будет ли прямая $MN$ параллельна третьей стороне $AB$.Прямые $MN$ и $AB$ параллельны тогда и только тогда, когда соответственные углы, образованные при пересечении этих прямых секущей $AC$, равны. В нашем случае это означает, что должно выполняться равенство $∠MNC = ∠A$.Мы определили, что $∠MNC = β$, а из условий задачи $∠A = α$.Следовательно, прямая $MN$ будет параллельна $AB$ только если $β = α$. Это условие соответствует равностороннему треугольнику, который мы исключили вначале.

Если же треугольник $ABC$ не является равносторонним, то $α ≠ β$, и, следовательно, $∠MNC ≠ ∠A$. Это означает, что прямая $MN$ не параллельна стороне $AB$.

Таким образом, для любого не равностороннего равнобедренного треугольника $ABC$ можно провести прямую $MN$ (пересекающую боковую сторону и основание), которая отсекает подобный ему треугольник $MNC$ и при этом не параллельна третьей стороне $AB$.

Например, в равнобедренном треугольнике с углами $72°, 36°, 72°$ ($α=72°, β=36°$) можно провести прямую, отсекающую треугольник с такими же углами, которая не будет параллельна третьей стороне.

Ответ: Да, может.