Номер 15.26, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.26. Точка $E$ делит хорду $CD$ окружности на отрезки длиной 15 см и 16 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от точки $E$ до центра окружности равно 4 см.

15.26. Точка $E$ делит хорду $CD$ окружности на отрезки длиной 15 см и 16 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от точки $E$ до центра окружности равно 4 см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд, также известным как теорема о степени точки относительно окружности. Рассмотрим две хорды, пересекающиеся в точке $E$.

Первая хорда — это $CD$. По условию, точка $E$ делит ее на отрезки длиной $CE = 15$ см и $ED = 16$ см.

Вторую хорду проведем через точку $E$ и центр окружности $O$. Эта хорда будет являться диаметром. Обозначим концы этого диаметра буквами $A$ и $B$.

Пусть радиус окружности равен $R$. Расстояние от центра $O$ до точки $E$ по условию равно $OE = 4$ см. Точка $E$ делит диаметр $AB$ на два отрезка. Длины этих отрезков можно выразить через радиус $R$ и расстояние $OE$:

• Длина одного отрезка равна $R + OE = R + 4$ см.
• Длина второго отрезка равна $R - OE = R - 4$ см.

Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение длин отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению длин отрезков, на которые она делит другую хорду. Таким образом, мы можем записать равенство:

$CE \cdot ED = (R + OE) \cdot (R - OE)$

Подставим известные значения в это уравнение:

$15 \cdot 16 = (R + 4) \cdot (R - 4)$

Вычислим произведение в левой части:

$15 \cdot 16 = 240$

В правой части уравнения применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(R + 4)(R - 4) = R^2 - 4^2 = R^2 - 16$

Теперь приравняем обе части:

$240 = R^2 - 16$

Отсюда найдем $R^2$:

$R^2 = 240 + 16$

$R^2 = 256$

Чтобы найти радиус $R$, извлечем квадратный корень из 256. Так как радиус является величиной положительной, выбираем положительное значение корня:

$R = \sqrt{256} = 16$ см.

Ответ: 16 см.