Номер 15.30, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.30. Через точку A, лежащую вне окружности (рис. 15.17), проведены две прямые, одна из которых пересекает окружность в точках B и C (точка B лежит между точками A и C), а другая — в точках D и E (точка D лежит между точками A и E).

1) Докажите, что $AB \cdot AC = AD \cdot AE$.

2) Найдите отрезок $AE$, если $AB = 18$ см, $BC = 12$ см и $AD : DE = 5 : 7$.

Рис. 15.17

15.30. Через точку A, лежащую вне окружности (рис. 15.17), проведены две прямые, одна из которых пересекает окружность в точках B и C (точка B лежит между точками A и C), а другая — в точках D и E (точка D лежит между точками A и E).

1) Докажите, что $AB \cdot AC = AD \cdot AE$.

2) Найдите отрезок AE, если $AB = 18$ см, $BC = 12$ см и $AD : DE = 5 : 7$.

Рис. 15.17

1) Докажите, что $AB \cdot AC = AD \cdot AE$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle AEC$.
1. Угол $\angle A$ является общим для этих треугольников.
2. Четырёхугольник $BCED$ вписан в окружность. По свойству углов вписанного четырёхугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle CBD + \angle CED = 180^\circ$.
3. Углы $\angle ABD$ и $\angle CBD$ являются смежными, так как точки $A, B, C$ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle ABD + \angle CBD = 180^\circ$.
4. Из двух последних равенств следует, что $\angle ABD = \angle CED$. Поскольку точки $A, D, E$ лежат на одной прямой, то $\angle CED$ — это тот же угол, что и $\angle AEC$. Таким образом, $\angle ABD = \angle AEC$.

Поскольку два угла треугольника $\triangle ABD$ соответственно равны двум углам треугольника $\triangle AEC$ ($\angle A$ — общий и $\angle ABD = \angle AEC$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия.
Из подобия треугольников $\triangle ABD \sim \triangle AEC$ следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{AB}{AE} = \frac{AD}{AC}$
Применяя основное свойство пропорции, получаем:
$AB \cdot AC = AD \cdot AE$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Найдите отрезок AE, если $AB = 18$ см, $BC = 12$ см и $AD : DE = 5 : 7$.

Воспользуемся равенством, доказанным в первом пункте: $AB \cdot AC = AD \cdot AE$.
Найдем длины отрезков, входящих в формулу, исходя из условий задачи.
Длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$, так как точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$:
$AC = AB + BC = 18 + 12 = 30$ см.
Соотношение $AD : DE = 5 : 7$ означает, что можно представить длины этих отрезков через коэффициент пропорциональности $x$:
$AD = 5x$
$DE = 7x$
Длина отрезка $AE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$, так как точка $D$ лежит между точками $A$ и $E$:
$AE = AD + DE = 5x + 7x = 12x$.
Теперь подставим все известные и выраженные значения в исходное равенство:
$AB \cdot AC = AD \cdot AE$
$18 \cdot 30 = (5x) \cdot (12x)$
$540 = 60x^2$
Решим полученное уравнение относительно $x$:
$x^2 = \frac{540}{60}$
$x^2 = 9$
Поскольку $x$ представляет собой коэффициент для длин отрезков, его значение должно быть положительным: $x = 3$.
Найдём искомую длину отрезка $AE$:
$AE = 12x = 12 \cdot 3 = 36$ см.

Ответ: 36 см.