Номер 15.34, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.34. В треугольнике $ABC$ $BC = 18$ см, $AC = 15$ см, $AB = 12$ см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую к стороне $BC$.

15.34. В треугольнике $ABC$ $BC = 18$ см, $AC = 15$ см, $AB = 12$ см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую к стороне $BC$.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $a = BC = 18$ см, $b = AC = 15$ см, $c = AB = 12$ см.Необходимо найти длину биссектрисы, проведённой к стороне $BC$. Это биссектриса угла $A$. Обозначим эту биссектрису как $AD$, где $D$ — точка на стороне $BC$, а её длину как $l_a$.

Для нахождения длины биссектрисы можно использовать формулу:$l_a^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC$Сначала найдём длины отрезков $BD$ и $DC$, на которые биссектриса $AD$ делит сторону $BC$.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$Подставим известные значения длин сторон:$\frac{BD}{DC} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$Из этой пропорции выразим $BD$ через $DC$:$BD = \frac{4}{5} DC$

Сумма длин отрезков $BD$ и $DC$ равна длине стороны $BC$:$BD + DC = BC = 18$ смПодставим в это равенство выражение для $BD$:$\frac{4}{5} DC + DC = 18$$\frac{9}{5} DC = 18$$DC = \frac{18 \cdot 5}{9} = 2 \cdot 5 = 10$ см.Теперь найдём длину отрезка $BD$:$BD = 18 - DC = 18 - 10 = 8$ см.

Теперь, зная длины отрезков $BD$ и $DC$, мы можем вычислить длину биссектрисы $AD$ ($l_a$):$l_a^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC$$l_a^2 = 12 \cdot 15 - 8 \cdot 10$$l_a^2 = 180 - 80$$l_a^2 = 100$$l_a = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.