Номер 15.40, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.40. В окружность вписан треугольник, одна из сторон которого равна 21 см. Параллельно этой стороне через точку пересечения медиан проведена хорда. Отрезки хорды, расположенные вне треугольника, равны 8 см и 11 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

15.40. В окружность вписан треугольник, одна из сторон которого равна 21 см. Параллельно этой стороне через точку пересечения медиан проведена хорда. Отрезки хорды, расположенные вне треугольника, равны 8 см и 11 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть в окружность вписан треугольник $ABC$, в котором сторона $AC = 21$ см.Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$ (центроид). Через точку $M$ проведена хорда $DE$, параллельная стороне $AC$ ($DE \parallel AC$). Хорда $DE$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.По условию, отрезки хорды вне треугольника равны 8 см и 11 см. Пусть $DP = 8$ см и $QE = 11$ см.

1. Нахождение длины отрезка хорды внутри треугольника

Поскольку хорда $PQ$ параллельна стороне $AC$, треугольник $PBQ$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle PBQ \sim \triangle ABC$).Точка пересечения медиан $M$ делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Проведём медиану $BK$ к стороне $AC$. Точка $M$ лежит на $BK$, и при этом $BM : MK = 2 : 1$. Отсюда следует, что $BM = \frac{2}{3} BK$.Коэффициент подобия треугольников $PBQ$ и $ABC$ равен отношению их высот, проведённых из вершины $B$. Высота $\triangle PBQ$ из вершины $B$ — это отрезок медианы $BM$. Высота $\triangle ABC$ из вершины $B$ — это вся медиана $BK$.Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{BM}{BK} = \frac{2}{3}$.Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия:$\frac{PQ}{AC} = k = \frac{2}{3}$Отсюда находим длину отрезка хорды $PQ$, расположенного внутри треугольника:$PQ = \frac{2}{3} \cdot AC = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14$ см.

2. Нахождение неизвестных сторон треугольника

Для нахождения сторон $AB$ и $BC$ воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд (или теоремой о степени точки внутри окружности).

Сначала найдём сторону $AB$. Точка $P$ лежит на стороне $AB$ и на хорде $DE$. Таким образом, через точку $P$ проходят две хорды: $AB$ и $DE$. По теореме, произведение отрезков, на которые точка $P$ делит эти хорды, равны:$AP \cdot PB = DP \cdot PE$Нам известно, что $DP = 8$ см. Отрезок $PE$ состоит из двух частей: $PQ$ и $QE$.$PE = PQ + QE = 14 + 11 = 25$ см.Следовательно, $AP \cdot PB = 8 \cdot 25 = 200$.Из подобия треугольников $\triangle PBQ \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $k = \frac{2}{3}$ имеем:$\frac{PB}{AB} = \frac{2}{3} \implies PB = \frac{2}{3} AB$Тогда $AP = AB - PB = AB - \frac{2}{3} AB = \frac{1}{3} AB$.Подставим эти выражения в полученное равенство:$(\frac{1}{3} AB) \cdot (\frac{2}{3} AB) = 200$$\frac{2}{9} AB^2 = 200$$AB^2 = \frac{200 \cdot 9}{2} = 100 \cdot 9 = 900$$AB = \sqrt{900} = 30$ см.

Теперь аналогично найдём сторону $BC$. Точка $Q$ лежит на стороне $BC$ и на хорде $DE$. Через точку $Q$ проходят хорды $BC$ и $DE$. По той же теореме:$BQ \cdot QC = DQ \cdot QE$Нам известно, что $QE = 11$ см. Отрезок $DQ$ состоит из двух частей: $DP$ и $PQ$.$DQ = DP + PQ = 8 + 14 = 22$ см.Следовательно, $BQ \cdot QC = 22 \cdot 11 = 242$.Из подобия треугольников $\triangle PBQ \sim \triangle ABC$:$\frac{BQ}{BC} = \frac{2}{3} \implies BQ = \frac{2}{3} BC$Тогда $QC = BC - BQ = BC - \frac{2}{3} BC = \frac{1}{3} BC$.Подставим эти выражения в равенство:$(\frac{2}{3} BC) \cdot (\frac{1}{3} BC) = 242$$\frac{2}{9} BC^2 = 242$$BC^2 = \frac{242 \cdot 9}{2} = 121 \cdot 9$$BC = \sqrt{121 \cdot 9} = 11 \cdot 3 = 33$ см.

Ответ: неизвестные стороны треугольника равны 30 см и 33 см.