Номер 15.46, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.46. Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения боковых сторон лежат на одной прямой.

15.46. Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения боковых сторон лежат на одной прямой.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Обозначим точки согласно условию задачи: $M$ — середина основания $BC$, $N$ — середина основания $AD$, $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, а $P$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD$. Требуется доказать, что все четыре точки — $P$, $O$, $M$ и $N$ — лежат на одной прямой.

Сначала докажем, что точки $P$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Рассмотрим треугольники $\triangle PBC$ и $\triangle PAD$. Поскольку $BC \parallel AD$, эти треугольники подобны (угол при вершине $P$ у них общий, а углы $\angle PBC$ и $\angle PAD$ равны как соответственные при параллельных прямых и секущей $AP$). Рассмотрим гомотетию с центром в точке $P$, которая отображает точку $B$ в точку $A$. Так как треугольники подобны, эта гомотетия также отображает точку $C$ в точку $D$, а следовательно, отрезок $BC$ в отрезок $AD$. Гомотетия обладает свойством переводить середину отрезка в середину его образа. Так как $M$ — середина $BC$, её образом при этой гомотетии будет середина отрезка $AD$, то есть точка $N$. По определению гомотетии, центр гомотетии ($P$), любая точка ($M$) и её образ ($N$) лежат на одной прямой. Таким образом, точки $P$, $M$ и $N$ коллинеарны.

Теперь докажем, что точки $O$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Рассмотрим треугольники $\triangle OBC$ и $\triangle ODA$. Они подобны, так как $BC \parallel AD$ (углы $\angle OCB$ и $\angle OAD$ равны как накрест лежащие, так же как и углы $\angle OBC$ и $\angle ODA$). Рассмотрим гомотетию с центром в точке $O$, которая переводит точку $C$ в точку $A$. Из подобия треугольников следует, что эта гомотетия переводит точку $B$ в точку $D$, а отрезок $BC$ — в отрезок $DA$. Так как $M$ является серединой отрезка $BC$, её образ при данной гомотетии должен быть серединой отрезка $DA$, то есть точкой $N$. По определению гомотетии, её центр ($O$), прообраз ($M$) и образ ($N$) лежат на одной прямой. Следовательно, точки $O$, $M$ и $N$ также коллинеарны.

В итоге мы установили, что точка $P$ лежит на прямой $MN$, и точка $O$ также лежит на прямой $MN$. Поскольку через две различные точки $M$ и $N$ проходит единственная прямая, все четыре точки $P$, $O$, $M$ и $N$ принадлежат этой прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.