Номер 15.43, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.43. Отрезок $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Известно, что $AB - BD = 4$ см, $AC + CD = 9$ см. Найдите отрезок $AD$.

15.43. Отрезок $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Известно, что $AB - BD = 4$ см, $AC + CD = 9$ см. Найдите отрезок $AD$.

Из условий задачи $AB - BD = 4$ см и $AC + CD = 9$ см выразим стороны $AB$ и $AC$:
$AB = BD + 4$
$AC = 9 - CD$

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $$ Это свойство можно записать в виде равенства произведений: $$ AB \cdot CD = AC \cdot BD $$

Подставим в полученное равенство выражения для $AB$ и $AC$: $$ (BD + 4) \cdot CD = (9 - CD) \cdot BD $$ Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $$ BD \cdot CD + 4 \cdot CD = 9 \cdot BD - CD \cdot BD $$ Перенесем все члены с произведением $BD \cdot CD$ в одну сторону: $$ 4 \cdot CD + 2 \cdot BD \cdot CD = 9 \cdot BD $$ Из этого соотношения выразим разность $9 \cdot BD - 4 \cdot CD$: $$ 9 \cdot BD - 4 \cdot CD = 2 \cdot BD \cdot CD \quad (*)$$

Длина биссектрисы треугольника ($AD$) связана со сторонами треугольника и отрезками, на которые она делит противолежащую сторону, следующей формулой: $$ AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot CD $$ Подставим в эту формулу выражения для $AB$ и $AC$: $$ AD^2 = (BD + 4) \cdot (9 - CD) - BD \cdot CD $$ Раскроем скобки в правой части: $$ AD^2 = (9 \cdot BD - BD \cdot CD + 36 - 4 \cdot CD) - BD \cdot CD $$ Сгруппируем слагаемые, чтобы использовать полученное ранее соотношение (*): $$ AD^2 = 36 + (9 \cdot BD - 4 \cdot CD) - 2 \cdot BD \cdot CD $$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $9 \cdot BD - 4 \cdot CD$ из равенства $(*)$: $$ AD^2 = 36 + (2 \cdot BD \cdot CD) - 2 \cdot BD \cdot CD $$ Упрощаем выражение: $$ AD^2 = 36 $$

Так как длина отрезка является положительной величиной, находим $AD$, извлекая квадратный корень: $$ AD = \sqrt{36} = 6 \text{ см} $$

Ответ: 6 см.