Номер 15.37, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.37. Через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проходит окружность, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Найдите отрезки $MK$ и $AM$, если $AB = 2$ см, $BC = 4$ см, $AC = 5$ см, $AK = 1$ см.

15.37. Через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проходит окружность, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Найдите отрезки $MK$ и $AM$, если $AB = 2$ см, $BC = 4$ см, $AC = 5$ см, $AK = 1$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle ACB$.

Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.

По условию, точки $B$, $C$, $M$, $K$ лежат на одной окружности. Это означает, что четырехугольник $BCMK$ — вписанный. У вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle BCM + \angle BKM = 180^\circ$.

Углы $\angle AKM$ и $\angle BKM$ — смежные, их сумма также равна $180^\circ$: $\angle AKM + \angle BKM = 180^\circ$.

Из двух предыдущих утверждений следует, что $\angle AKM = \angle BCM$, то есть $\angle AKM = \angle C$.

Таким образом, треугольник $AKM$ подобен треугольнику $ACB$ по двум углам ($\angle A$ — общий, $\angle AKM = \angle ACB$).

Из подобия треугольников ($\triangle AKM \sim \triangle ACB$) следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$ \frac{AK}{AC} = \frac{AM}{AB} = \frac{MK}{CB} $

Подставим известные значения из условия задачи: $AK=1$ см, $AC=5$ см, $AB=2$ см, $BC=4$ см.
$ \frac{1}{5} = \frac{AM}{2} = \frac{MK}{4} $

Теперь из полученной пропорции найдем искомые отрезки.

MK
Из соотношения $\frac{1}{5} = \frac{MK}{4}$ находим длину отрезка $MK$:
$ MK = \frac{4 \cdot 1}{5} = \frac{4}{5} = 0.8 $ см.
Ответ: $MK = 0.8$ см.

AM
Из соотношения $\frac{1}{5} = \frac{AM}{2}$ находим длину отрезка $AM$:
$ AM = \frac{2 \cdot 1}{5} = \frac{2}{5} = 0.4 $ см.
Ответ: $AM = 0.4$ см.