Номер 15.42, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.42. Высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что $AH \cdot HA_1 = BH \cdot HB_1 = CH \cdot HC_1$.

15.42. Высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что $AH \cdot HA_1 = BH \cdot HB_1 = CH \cdot HC_1$.

Для доказательства данного равенства мы воспользуемся свойством подобных треугольников. Мы разобьем доказательство на две части: сначала установим равенство $ AH \cdot HA_1 = BH \cdot HB_1 $, а затем аналогичным образом докажем, что $ BH \cdot HB_1 = CH \cdot HC_1 $.

Доказательство равенства $ AH \cdot HA_1 = BH \cdot HB_1 $

Рассмотрим треугольники $ \triangle AHB_1 $ и $ \triangle BHA_1 $. По условию, $AA_1$ и $BB_1$ являются высотами остроугольного треугольника $ABC$, следовательно, $ AA_1 \perp BC $ и $ BB_1 \perp AC $. Это означает, что $ \angle BA_1A = 90^\circ $ и $ \angle AB_1B = 90^\circ $. Так как точка $H$ лежит на отрезках $AA_1$ и $BB_1$, то углы $ \angle BA_1H $ и $ \angle AB_1H $ также являются прямыми. Таким образом, треугольники $ \triangle AHB_1 $ и $ \triangle BHA_1 $ — прямоугольные.

Для доказательства их подобия найдем их острые углы. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle AA_1C $ ($ \angle AA_1C = 90^\circ $). Сумма его острых углов равна $90^\circ$, поэтому $ \angle A_1AC = 90^\circ - \angle C $. Угол $ \angle B_1AH $ совпадает с углом $ \angle A_1AC $, так как точки $A, H, A_1$ лежат на одной прямой. Следовательно, $ \angle B_1AH = 90^\circ - \angle C $.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle BB_1C $ ($ \angle BB_1C = 90^\circ $). Аналогично, $ \angle B_1BC = 90^\circ - \angle C $. Угол $ \angle A_1BH $ совпадает с углом $ \angle B_1BC $, так как точки $B, H, B_1$ лежат на одной прямой. Следовательно, $ \angle A_1BH = 90^\circ - \angle C $.

Так как $ \angle B_1AH = \angle A_1BH = 90^\circ - \angle C $, прямоугольные треугольники $ \triangle AHB_1 $ и $ \triangle BHA_1 $ подобны по острому углу. Из подобия следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$ \frac{AH}{BH} = \frac{HB_1}{HA_1} $

Применяя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем первое искомое равенство:

$ AH \cdot HA_1 = BH \cdot HB_1 $.

Доказательство равенства $ BH \cdot HB_1 = CH \cdot HC_1 $

Это равенство доказывается аналогично. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle BHC_1 $ и $ \triangle CHB_1 $. Так как $BB_1$ и $CC_1$ — высоты, то $ \angle CB_1H = 90^\circ $ и $ \angle BC_1H = 90^\circ $.

В прямоугольном треугольнике $ \triangle ABB_1 $ ($ \angle AB_1B = 90^\circ $) имеем $ \angle ABB_1 = 90^\circ - \angle A $. Угол $ \angle C_1BH $ совпадает с $ \angle ABB_1 $, поэтому $ \angle C_1BH = 90^\circ - \angle A $.

В прямоугольном треугольнике $ \triangle ACC_1 $ ($ \angle AC_1C = 90^\circ $) имеем $ \angle ACC_1 = 90^\circ - \angle A $. Угол $ \angle B_1CH $ совпадает с $ \angle ACC_1 $, поэтому $ \angle B_1CH = 90^\circ - \angle A $.

Поскольку $ \angle C_1BH = \angle B_1CH $, прямоугольные треугольники $ \triangle BHC_1 $ и $ \triangle CHB_1 $ подобны по острому углу. Из их подобия следует:

$ \frac{BH}{CH} = \frac{HC_1}{HB_1} $

Отсюда получаем второе равенство:

$ BH \cdot HB_1 = CH \cdot HC_1 $.

Заключение

Из двух доказанных равенств $ AH \cdot HA_1 = BH \cdot HB_1 $ и $ BH \cdot HB_1 = CH \cdot HC_1 $ следует, что все три произведения равны между собой:

$ AH \cdot HA_1 = BH \cdot HB_1 = CH \cdot HC_1 $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.