Номер 15.49, страница 119 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.49. Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность с центром в точке $O$. Через точки $B$ и $C$ перпендикулярно прямой $AO$ проведены прямые, пересекающие прямые $AC$ и $AB$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что $BC^2 = BM \cdot CN$.

15.49. Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность с центром в точке $O$. Через точки $B$ и $C$ перпендикулярно прямой $AO$ проведены прямые, пересекающие прямые $AC$ и $AB$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что $BC^2 = BM \cdot CN$.

Для доказательства равенства $BC^2 = BM \cdot CN$ установим подобие треугольников $\triangle BCM$ и $\triangle CNB$. Если доказать, что $\triangle BCM \sim \triangle CNB$, то из соотношения их соответствующих сторон $\frac{BC}{CN} = \frac{BM}{CB}$ будет следовать требуемое равенство.

Докажем подобие, вычислив углы этих двух треугольников. Обозначим углы треугольника $ABC$ как $\angle A, \angle B, \angle C$.

Сначала рассмотрим треугольник $CNB$. Угол при вершине $B$ в этом треугольнике совпадает с углом $\angle B$ треугольника $ABC$, так как точка $N$ лежит на прямой $AB$. Таким образом, $\angle CBN = \angle B$.

Далее найдем угол $\angle CNB$. Пусть $t_A$ — касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проведенная в точке $A$. По свойству касательной, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть $t_A \perp AO$. По условию задачи, прямая $CN$ также перпендикулярна прямой $AO$. Следовательно, прямая $CN$ параллельна касательной $t_A$ ($CN \parallel t_A$). Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $t_A$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду, то есть $\angle(t_A, AB) = \angle ACB = \angle C$. Поскольку $CN \parallel t_A$, угол между прямой $CN$ и прямой $AB$ также равен $C$. Таким образом, $\angle CNB = \angle C$. Зная два угла треугольника $CNB$, находим третий: $\angle BCN = 180^\circ - \angle CBN - \angle CNB = 180^\circ - \angle B - \angle C = \angle A$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCM$. Угол при вершине $C$ совпадает с углом $\angle C$ треугольника $ABC$, так как точка $M$ лежит на прямой $AC$. Таким образом, $\angle BCM = \angle C$. Для нахождения угла $\angle BMC$ проведем аналогичные рассуждения. Прямая $BM$ по условию перпендикулярна $AO$, как и касательная $t_A$. Следовательно, $BM \parallel t_A$. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между $t_A$ и хордой $AC$ равен $\angle ABC = \angle B$. В силу параллельности $BM \parallel t_A$, угол между прямой $BM$ и прямой $AC$ также равен $B$. Значит, $\angle BMC = \angle B$. Третий угол треугольника $BCM$ равен $\angle CBM = 180^\circ - \angle BCM - \angle BMC = 180^\circ - \angle C - \angle B = \angle A$.

Таким образом, мы установили углы обоих треугольников:
в $\triangle BCM$ углы равны: $\angle CBM = A$, $\angle BCM = C$, $\angle BMC = B$;
в $\triangle CNB$ углы равны: $\angle BCN = A$, $\angle CBN = B$, $\angle CNB = C$.

Сравнивая углы, видим, что $\angle CBM = \angle BCN = A$, $\angle BCM = \angle CNB = C$, и $\angle BMC = \angle CBN = B$.
Равенство соответствующих углов доказывает подобие треугольников: $\triangle BCM \sim \triangle CNB$.

Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон (сторона лежит напротив равного угла):

$\frac{BC}{CN} = \frac{BM}{CB}$

Отсюда, используя основное свойство пропорции, получаем: $BC^2 = BM \cdot CN$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BC^2 = BM \cdot CN$ доказано.