Вопросы, страница 124 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какие точки называют коллинеарными?

2. Сформулируйте теорему Менелая.

3. Какие прямые называют конкурентными?

4. Сформулируйте теорему Чевы.

1. Какие точки называют коллинеарными?

2. Сформулируйте теорему Менелая.

3. Какие прямые называют конкурентными?

4. Сформулируйте теорему Чевы.

1. Какие точки называют коллинеарными?

Коллинеарными называют точки, которые лежат на одной прямой. Любые две точки всегда коллинеарны, так как через них всегда можно провести единственную прямую. Поэтому понятие коллинеарности имеет смысл, когда рассматриваются три или более точек. Если три или более точек лежат на одной прямой, они являются коллинеарными.

Ответ: Точки, лежащие на одной прямой.

2. Сформулируйте теорему Менелая.

Теорема Менелая — это теорема в планиметрии, которая устанавливает необходимое и достаточное условие коллинеарности трех точек, лежащих на сторонах треугольника или их продолжениях.

Пусть дан треугольник $ABC$. Некоторая прямая, не проходящая через вершины треугольника, пересекает прямые, содержащие стороны $BC, AC$ и $AB$, в точках $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно. Точки $A_1, B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$

Здесь $\frac{AX}{XB}$ обозначает отношение длин отрезков. Теорема верна, когда прямая пересекает либо две стороны треугольника и продолжение третьей, либо продолжения всех трех сторон.

Ответ: Для треугольника $ABC$ и точек $A_1, B_1, C_1$, лежащих на прямых $BC, AC, AB$ соответственно (и не совпадающих с вершинами), эти точки коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство $\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$.

3. Какие прямые называют конкурентными?

Конкурентными называют три или более прямых на плоскости, которые пересекаются в одной общей точке. Эта точка называется точкой конкуренции или точкой пересечения.

Классическими примерами конкурентных прямых в геометрии треугольника являются:
- медианы, пересекающиеся в центроиде (центре тяжести) треугольника;
- высоты, пересекающиеся в ортоцентре;
- биссектрисы, пересекающиеся в центре вписанной окружности (инцентре);
- серединные перпендикуляры к сторонам, пересекающиеся в центре описанной окружности.

Ответ: Прямые, которые пересекаются в одной точке.

4. Сформулируйте теорему Чевы.

Теорема Чевы — это теорема в планиметрии, которая устанавливает необходимое и достаточное условие для того, чтобы три чевианы треугольника (отрезки, соединяющие вершину с точкой на противоположной стороне или ее продолжении) пересекались в одной точке.

Пусть в треугольнике $ABC$ на прямых, содержащих стороны $BC, AC$ и $AB$, взяты точки $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно (не совпадающие с вершинами). Прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке (конкурентны) или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:

$$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$

Теорема также имеет тригонометрическую форму: прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ конкурентны или параллельны тогда и только тогда, когда:

$$ \frac{\sin(\angle BAA_1)}{\sin(\angle A_1AC)} \cdot \frac{\sin(\angle CBB_1)}{\sin(\angle B_1BA)} \cdot \frac{\sin(\angle ACC_1)}{\sin(\angle C_1CB)} = 1 $$

Ответ: Для треугольника $ABC$ и точек $A_1, B_1, C_1$ на прямых $BC, AC, AB$ соответственно, чевианы $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда $\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$.