Номер 16.3, страница 124 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.3. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM = \frac{1}{3}AC$, а на луче $CB$ отметили точку $N$ так, что $BN = BC$.

В каком отношении точка $P$ пересечения отрезков $AB$ и $MN$ делит каждый из этих отрезков?

16.3. На стороне AC треугольника ABC отметили точку M так, что $AM = \frac{1}{3}AC$, а на луче CB отметили точку N так, что $BN = BC$.

В каком отношении точка P пересечения отрезков AB и MN делит каждый из этих отрезков?

Для решения данной задачи применим теорему Менелая, которая устанавливает соотношение между отрезками, на которые прямая делит стороны треугольника (или их продолжения).

Рассмотрим треугольник $ABC$ и пересекающую его прямую (секущую) $NPM$. Прямая пересекает сторону $AC$ в точке $M$, сторону $AB$ в точке $P$ и продолжение стороны $BC$ в точке $N$. Согласно теореме Менелая, для $\triangle ABC$ и секущей $NPM$ выполняется следующее равенство:

$$ \frac{AM}{MC} \cdot \frac{CN}{NB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1 $$

Вычислим значения отношений, входящих в это равенство:

1. Из условия задачи известно, что $AM = \frac{1}{3}AC$. Отсюда следует, что $MC = AC - AM = AC - \frac{1}{3}AC = \frac{2}{3}AC$. Тогда отношение длин отрезков равно:$$ \frac{AM}{MC} = \frac{\frac{1}{3}AC}{\frac{2}{3}AC} = \frac{1}{2} $$

2. Точка $N$ лежит на луче $CB$ так, что $BN = BC$. Это означает, что точка $B$ находится между точками $C$ и $N$. Длина отрезка $CN$ равна сумме длин отрезков $CB$ и $BN$: $CN = CB + BN = BC + BC = 2BC$. Тогда отношение длин отрезков равно:$$ \frac{CN}{NB} = \frac{2BC}{BC} = 2 $$

Теперь подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая:

$$ \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{BP}{PA} = 1 $$

$$ 1 \cdot \frac{BP}{PA} = 1 \implies \frac{BP}{PA} = 1 $$

Из этого следует, что $BP = PA$, а значит, точка $P$ является серединой отрезка $AB$.

Ответ: Точка $P$ делит отрезок $AB$ в отношении $AP:PB = 1:1$.

Теперь рассмотрим треугольник $MNC$ и секущую $APB$. Прямая пересекает сторону $MN$ в точке $P$, продолжение стороны $NC$ (за точку $C$) в точке $B$ и продолжение стороны $MC$ (за точку $C$) в точке $A$. По теореме Менелая для $\triangle MNC$ и секущей $APB$ справедливо равенство:

$$ \frac{MP}{PN} \cdot \frac{NB}{BC} \cdot \frac{CA}{AM} = 1 $$

Вычислим значения известных отношений:

1. По условию $BN = BC$, поэтому их отношение $\frac{NB}{BC} = 1$.

2. По условию $AM = \frac{1}{3}AC$, что эквивалентно $AC = 3AM$. Тогда отношение длин отрезков $\frac{CA}{AM} = \frac{AC}{AM} = \frac{3AM}{AM} = 3$.

Подставим эти значения в формулу теоремы Менелая:

$$ \frac{MP}{PN} \cdot 1 \cdot 3 = 1 $$

$$ 3 \frac{MP}{PN} = 1 \implies \frac{MP}{PN} = \frac{1}{3} $$

Следовательно, точка $P$ делит отрезок $MN$ в отношении $MP:PN = 1:3$.

Ответ: Точка $P$ делит отрезок $MN$ в отношении $1:3$, считая от точки $M$.