Номер 16.10, страница 125 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.10. Точки $P, M, Q$ и $N$ — середины соответственно сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Докажите, что прямые $MN, AQ$ и $DP$ пересекаются в одной точке.

16.10. Точки $P$, $M$, $Q$ и $N$ — середины соответственно сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Докажите, что прямые $MN$, $AQ$ и $DP$ пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Воспользуемся методом векторов. Пусть точка $A$ будет началом координат, тогда ее радиус-вектор $\vec{A} = \vec{0}$. Обозначим векторы, выходящие из этой точки к другим вершинам: $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AD} = \vec{d}$. Поскольку $A, B, D$ не лежат на одной прямой, векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ являются неколлинеарными и могут быть использованы в качестве базиса на плоскости.

Так как $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC$ и $AD$, то сторона $BC$ параллельна стороне $AD$. Это означает, что вектор $\vec{BC}$ коллинеарен вектору $\vec{AD}$. Следовательно, существует такое действительное число $k > 0$ (равное отношению длин оснований $|BC|/|AD|$), что $\vec{BC} = k \vec{AD} = k\vec{d}$.

Теперь выразим радиус-векторы остальных вершин трапеции и середин ее сторон:

• $\vec{A} = \vec{0}$
• $\vec{B} = \vec{b}$
• $\vec{D} = \vec{d}$
• $\vec{C} = \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{b} + k\vec{d}$
• $P$ — середина $AB \implies \vec{P} = \frac{\vec{A}+\vec{B}}{2} = \frac{\vec{b}}{2}$
• $M$ — середина $BC \implies \vec{M} = \frac{\vec{B}+\vec{C}}{2} = \frac{\vec{b}+(\vec{b}+k\vec{d})}{2} = \vec{b} + \frac{k}{2}\vec{d}$
• $Q$ — середина $CD \implies \vec{Q} = \frac{\vec{C}+\vec{D}}{2} = \frac{(\vec{b}+k\vec{d})+\vec{d}}{2} = \frac{\vec{b}}{2} + \frac{k+1}{2}\vec{d}$
• $N$ — середина $DA \implies \vec{N} = \frac{\vec{D}+\vec{A}}{2} = \frac{\vec{d}}{2}$

Найдем точку пересечения прямых $AQ$ и $DP$. Обозначим эту точку через $O$.

Поскольку точка $O$ лежит на прямой $AQ$, ее радиус-вектор $\vec{O}$ можно представить как линейную комбинацию векторов $\vec{A}$ и $\vec{Q}$: $\vec{O} = (1-s)\vec{A} + s\vec{Q}$ для некоторого скаляра $s$. Учитывая, что $\vec{A}=\vec{0}$, получаем: $\vec{O} = s\vec{Q} = s\left(\frac{\vec{b}}{2} + \frac{k+1}{2}\vec{d}\right) = \frac{s}{2}\vec{b} + \frac{s(k+1)}{2}\vec{d}$.

Аналогично, поскольку точка $O$ лежит на прямой $DP$, ее радиус-вектор можно представить в виде: $\vec{O} = (1-t)\vec{D} + t\vec{P}$ для некоторого скаляра $t$. $\vec{O} = (1-t)\vec{d} + t\left(\frac{\vec{b}}{2}\right) = \frac{t}{2}\vec{b} + (1-t)\vec{d}$.

Приравняем два полученных выражения для вектора $\vec{O}$: $\frac{s}{2}\vec{b} + \frac{s(k+1)}{2}\vec{d} = \frac{t}{2}\vec{b} + (1-t)\vec{d}$.

Перенесем все члены в одну сторону: $\left(\frac{s}{2} - \frac{t}{2}\right)\vec{b} + \left(\frac{s(k+1)}{2} - (1-t)\right)\vec{d} = \vec{0}$.

Так как векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ неколлинеарны, их линейная комбинация равна нулевому вектору только в том случае, если коэффициенты при них равны нулю. Получаем систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{s}{2} - \frac{t}{2} = 0 \\ \frac{s(k+1)}{2} - 1 + t = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения следует, что $s = t$. Подставив это во второе уравнение, находим $s$: $\frac{s(k+1)}{2} - 1 + s = 0 \implies s(k+1) - 2 + 2s = 0 \implies s(k+3) = 2 \implies s = \frac{2}{k+3}$.

Таким образом, $s = t = \frac{2}{k+3}$. Теперь можем найти радиус-вектор точки пересечения $O$: $\vec{O} = \frac{t}{2}\vec{b} + (1-t)\vec{d} = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{k+3}\right)\vec{b} + \left(1-\frac{2}{k+3}\right)\vec{d} = \frac{1}{k+3}\vec{b} + \frac{k+1}{k+3}\vec{d}$.

Осталось доказать, что найденная точка $O$ лежит на прямой $MN$. Для этого достаточно показать, что векторы $\vec{MO}$ и $\vec{MN}$ коллинеарны.

Найдем вектор $\vec{MN}$: $\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{\vec{d}}{2} - \left(\vec{b} + \frac{k}{2}\vec{d}\right) = -\vec{b} + \frac{1-k}{2}\vec{d}$.

Найдем вектор $\vec{MO}$: $\vec{MO} = \vec{O} - \vec{M} = \left(\frac{1}{k+3}\vec{b} + \frac{k+1}{k+3}\vec{d}\right) - \left(\vec{b} + \frac{k}{2}\vec{d}\right)$ $\vec{MO} = \left(\frac{1}{k+3}-1\right)\vec{b} + \left(\frac{k+1}{k+3}-\frac{k}{2}\right)\vec{d}$ $\vec{MO} = \frac{-k-2}{k+3}\vec{b} + \frac{2(k+1)-k(k+3)}{2(k+3)}\vec{d}$ $\vec{MO} = \frac{-(k+2)}{k+3}\vec{b} + \frac{-k^2-k+2}{2(k+3)}\vec{d}$ $\vec{MO} = \frac{-(k+2)}{k+3}\vec{b} - \frac{(k-1)(k+2)}{2(k+3)}\vec{d}$.

Вынесем за скобки общий множитель $\frac{k+2}{k+3}$: $\vec{MO} = \frac{k+2}{k+3} \left(-\vec{b} - \frac{k-1}{2}\vec{d}\right) = \frac{k+2}{k+3} \left(-\vec{b} + \frac{1-k}{2}\vec{d}\right)$.

Сравнивая это выражение с вектором $\vec{MN}$, получаем: $\vec{MO} = \frac{k+2}{k+3} \vec{MN}$.

Поскольку вектор $\vec{MO}$ равен вектору $\vec{MN}$, умноженному на скаляр, эти векторы коллинеарны. Так как они имеют общую точку $M$, точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой.

Таким образом, мы показали, что точка пересечения прямых $AQ$ и $DP$ лежит на прямой $MN$. Это означает, что все три прямые — $MN$, $AQ$ и $DP$ — пересекаются в одной точке.

Ответ: Утверждение доказано.