Номер 16.16, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.16. Прямая пересекает стороны $AB$, $BC$ и продолжение стороны $AC$ треугольника $ABC$ соответственно в точках $D$, $E$ и $F$. Докажите, что середины отрезков $DC$, $AE$ и $BF$ лежат на одной прямой (эту прямую называют прямой Гаусса).

16.16. Прямая пересекает стороны $AB$, $BC$ и продолжение стороны $AC$ треугольника $ABC$ соответственно в точках $D$, $E$ и $F$. Докажите, что середины отрезков $DC$, $AE$ и $BF$ лежат на одной прямой (эту прямую называют прямой Гаусса).

Для доказательства воспользуемся методом, основанным на теореме Менелая.

Пусть $M, N, P$ — середины отрезков $DC, AE, BF$ соответственно.Пусть $A_1, B_1, C_1$ — середины сторон $BC, CA, AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Треугольник $A_1B_1C_1$ является серединным (медиальным) треугольником для $\triangle ABC$.

1. Покажем, что точки $M, N, P$ лежат на сторонах серединного треугольника $A_1B_1C_1$.

• Точка P лежит на прямой $C_1A_1$.
  Рассмотрим $\triangle ABF$. Отрезок $C_1P$ соединяет середины сторон $AB$ (точка $C_1$) и $BF$ (точка $P$). Следовательно, $C_1P$ — средняя линия $\triangle ABF$. Поэтому $C_1P \parallel AF$.
  Поскольку точка $F$ лежит на прямой $AC$, то $C_1P \parallel AC$.
  В то же время, отрезок $C_1A_1$ является средней линией $\triangle ABC$, соединяющей середины сторон $AB$ и $BC$. Нет, $C_1A_1$ соединяет середины $AB$ и $BC$, значит $C_1A_1 \parallel AC$.
  Так как обе прямые $C_1P$ и $C_1A_1$ проходят через точку $C_1$ и параллельны прямой $AC$, они совпадают. Таким образом, точка $P$ лежит на прямой $C_1A_1$.
• Точка N лежит на прямой $B_1C_1$.
  Рассмотрим $\triangle ACE$. Отрезок $B_1N$ соединяет середины сторон $AC$ (точка $B_1$) и $AE$ (точка $N$). Следовательно, $B_1N$ — средняя линия $\triangle ACE$. Поэтому $B_1N \parallel CE$.
  Поскольку точка $E$ лежит на прямой $BC$, то $B_1N \parallel BC$.
  Отрезок $B_1C_1$ — средняя линия $\triangle ABC$, поэтому $B_1C_1 \parallel BC$.
  Так как обе прямые $B_1N$ и $B_1C_1$ проходят через точку $B_1$ и параллельны прямой $BC$, они совпадают. Таким образом, точка $N$ лежит на прямой $B_1C_1$.
• Точка M лежит на прямой $A_1B_1$.
  Рассмотрим $\triangle CDB$. Отрезок $A_1M$ соединяет середины сторон $CB$ (точка $A_1$) и $CD$ (точка $M$). Следовательно, $A_1M$ — средняя линия $\triangle CDB$. Поэтому $A_1M \parallel DB$.
  Поскольку точка $D$ лежит на прямой $AB$, то $A_1M \parallel AB$.
  Отрезок $A_1B_1$ — средняя линия $\triangle ABC$, поэтому $A_1B_1 \parallel AB$.
  Так как обе прямые $A_1M$ и $A_1B_1$ проходят через точку $A_1$ и параллельны прямой $AB$, они совпадают. Таким образом, точка $M$ лежит на прямой $A_1B_1$.

2. Применим теорему Менелая.

Мы установили, что точки $M, N, P$ лежат на прямых, содержащих стороны треугольника $A_1B_1C_1$. Чтобы доказать, что точки $M, N, P$ лежат на одной прямой, воспользуемся обратной теоремой Менелая для $\triangle A_1B_1C_1$ и точек $M, N, P$. Нам нужно доказать, что выполняется равенство для ориентированных отрезков:$$ \frac{\overline{A_1M}}{\overline{MB_1}} \cdot \frac{\overline{B_1N}}{\overline{NC_1}} \cdot \frac{\overline{C_1P}}{\overline{PA_1}} = -1 $$

3. Вычислим отношения отрезков.

Для удобства вычислений будем использовать векторы. Выберем точку $A$ в качестве начала координат, т.е. $\vec{a} = \vec{0}$.

• Отношение $\frac{\overline{C_1P}}{\overline{PA_1}}$
  $\vec{c_1} = \frac{\vec{b}}{2}$, $\vec{a_1} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$. Точка $P$ лежит на прямой $C_1A_1$, поэтому её радиус-вектор $\vec{p}$ можно выразить как $\vec{p} = (1-t)\vec{c_1} + t\vec{a_1}$ для некоторого $t$. Тогда $\frac{\overline{C_1P}}{\overline{PA_1}} = \frac{t}{1-t}$.
  По определению $P$ — середина $BF$, так что $\vec{p} = \frac{\vec{b}+\vec{f}}{2}$. Точка $F$ лежит на прямой $AC$, поэтому $\vec{f} = k\vec{c}$ для $k = \frac{\overline{AF}}{\overline{AC}}$.
  $\vec{p} = \frac{\vec{b}+k\vec{c}}{2} = \frac{\vec{b}}{2} + \frac{k}{2}\vec{c}$.
  С другой стороны, $\vec{p} = (1-t)\frac{\vec{b}}{2} + t\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} = \frac{1-t+t}{2}\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{c} = \frac{\vec{b}}{2} + \frac{t}{2}\vec{c}$.
  Сравнивая выражения, получаем $t=k$.
  $\frac{\overline{C_1P}}{\overline{PA_1}} = \frac{k}{1-k} = \frac{\overline{AF}/\overline{AC}}{1-\overline{AF}/\overline{AC}} = \frac{\overline{AF}}{\overline{AC}-\overline{AF}} = \frac{\overline{AF}}{\overline{FC}}$.
• Отношение $\frac{\overline{B_1N}}{\overline{NC_1}}$
  По аналогии, $\frac{\overline{B_1N}}{\overline{NC_1}} = \frac{\overline{EC}}{\overline{BE}}$.
• Отношение $\frac{\overline{A_1M}}{\overline{MB_1}}$
  По аналогии, $\frac{\overline{A_1M}}{\overline{MB_1}} = \frac{\overline{DB}}{\overline{AD}}$.

4. Вычислим произведение отношений.

$$ P_{MNP} = \frac{\overline{A_1M}}{\overline{MB_1}} \cdot \frac{\overline{B_1N}}{\overline{NC_1}} \cdot \frac{\overline{C_1P}}{\overline{PA_1}} = \frac{\overline{DB}}{\overline{AD}} \cdot \frac{\overline{EC}}{\overline{BE}} \cdot \frac{\overline{AF}}{\overline{FC}} $$

Теперь воспользуемся теоремой Менелая для $\triangle ABC$ и секущей $DEF$. Она гласит:$$ P_{ABC} = \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}} \cdot \frac{\overline{BE}}{\overline{EC}} \cdot \frac{\overline{CF}}{\overline{FA}} = -1 $$Выразим из этого равенства произведение первых двух сомножителей:$$ \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}} \cdot \frac{\overline{BE}}{\overline{EC}} = - \frac{\overline{FA}}{\overline{CF}} $$Тогда:$$ \left(\frac{\overline{AD}}{\overline{DB}} \cdot \frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}\right)^{-1} = \left(- \frac{\overline{FA}}{\overline{CF}}\right)^{-1} \implies \frac{\overline{DB}}{\overline{AD}} \cdot \frac{\overline{EC}}{\overline{BE}} = - \frac{\overline{CF}}{\overline{FA}} $$Подставим это в выражение для $P_{MNP}$:$$ P_{MNP} = \left(- \frac{\overline{CF}}{\overline{FA}}\right) \cdot \frac{\overline{AF}}{\overline{FC}} $$Учитывая, что $\overline{CF} = -\overline{FC}$ и $\overline{FA} = -\overline{AF}$, получим:$$ P_{MNP} = \left(- \frac{-\overline{FC}}{-\overline{AF}}\right) \cdot \frac{\overline{AF}}{\overline{FC}} = \left(\frac{\overline{FC}}{\overline{AF}}\right) \cdot \frac{\overline{AF}}{\overline{FC}} = 1 $$

На этом шаге была допущена ошибка в алгебраическом преобразовании. Вернемся к предпоследнему выражению:$$ P_{MNP} = \left(- \frac{\overline{CF}}{\overline{FA}}\right) \cdot \frac{\overline{AF}}{\overline{FC}} $$Пусть точки на прямой $AC$ имеют координаты $a, c, f$. Тогда $\overline{CF} = f-c$, $\overline{FA} = a-f$, $\overline{AF} = f-a$, $\overline{FC} = c-f$.$$ P_{MNP} = \left(- \frac{f-c}{a-f}\right) \cdot \frac{f-a}{c-f} = \left(\frac{f-c}{f-a}\right) \cdot \frac{f-a}{c-f} = \frac{f-c}{c-f} = -1 $$

Итак, мы получили, что произведение отношений равно $-1$. Согласно обратной теореме Менелая, точки $M, N, P$ лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Середины отрезков $DC, AE$ и $BF$ лежат на одной прямой.