Номер 16.15, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.15. Окружность пересекает сторону $AB$ треугольника $ABC$ в точках $C_1$ и $C_2$, сторону $CA$ — в точках $B_1$ и $B_2$, сторону $BC$ — в точках $A_1$ и $A_2$. Докажите, что если прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, то и прямые $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$ пересекаются в одной точке.

16.15. Окружность пересекает сторону $AB$ треугольника $ABC$ в точках $C_1$ и $C_2$, сторону $CA$ — в точках $B_1$ и $B_2$, сторону $BC$ — в точках $A_1$ и $A_2$. Докажите, что если прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, то и прямые $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$ пересекаются в одной точке.

Для доказательства воспользуемся теоремой Чевы в форме отношений направленных отрезков и свойством степени точки относительно окружности.

Доказательство:

По условию, прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке. Согласно теореме Чевы, это эквивалентно следующему равенству для отношений направленных отрезков:$$ \frac{\vec{AC_1}}{\vec{C_1B}} \cdot \frac{\vec{BA_1}}{\vec{A_1C}} \cdot \frac{\vec{CB_1}}{\vec{B_1A}} = 1 \quad (1) $$

Нам нужно доказать, что прямые $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$ также пересекаются в одной точке. Согласно обратной теореме Чевы, для этого достаточно доказать, что выполняется равенство:$$ \frac{\vec{AC_2}}{\vec{C_2B}} \cdot \frac{\vec{BA_2}}{\vec{A_2C}} \cdot \frac{\vec{CB_2}}{\vec{B_2A}} = 1 \quad (2) $$

Точки $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ лежат на одной окружности. Воспользуемся свойством степени точки для вершин треугольника $A, B, C$ относительно этой окружности. Степень точки можно выразить через произведение направленных отрезков от точки до точек пересечения секущей с окружностью.

• Для вершины $A$ и секущих $AB$ и $AC$: $ \vec{AC_1} \cdot \vec{AC_2} = \vec{AB_1} \cdot \vec{AB_2} $
• Для вершины $B$ и секущих $BC$ и $BA$: $ \vec{BA_1} \cdot \vec{BA_2} = \vec{BC_1} \cdot \vec{BC_2} $
• Для вершины $C$ и секущих $CA$ и $CB$: $ \vec{CB_1} \cdot \vec{CB_2} = \vec{CA_1} \cdot \vec{CA_2} $

Рассмотрим произведение левых частей равенств (1) и (2):$$ P = \left(\frac{\vec{AC_1}}{\vec{C_1B}} \cdot \frac{\vec{BA_1}}{\vec{A_1C}} \cdot \frac{\vec{CB_1}}{\vec{B_1A}}\right) \cdot \left(\frac{\vec{AC_2}}{\vec{C_2B}} \cdot \frac{\vec{BA_2}}{\vec{A_2C}} \cdot \frac{\vec{CB_2}}{\vec{B_2A}}\right) $$

Сгруппируем множители по сторонам треугольника:$$ P = \left(\frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{AC_2}}{\vec{C_1B} \cdot \vec{C_2B}}\right) \cdot \left(\frac{\vec{BA_1} \cdot \vec{BA_2}}{\vec{A_1C} \cdot \vec{A_2C}}\right) \cdot \left(\frac{\vec{CB_1} \cdot \vec{CB_2}}{\vec{B_1A} \cdot \vec{B_2A}}\right) $$

Используя свойство направленных отрезков $\vec{XY} = -\vec{YX}$, преобразуем знаменатели:

• $\vec{C_1B} \cdot \vec{C_2B} = (-\vec{BC_1}) \cdot (-\vec{BC_2}) = \vec{BC_1} \cdot \vec{BC_2}$
• $\vec{A_1C} \cdot \vec{A_2C} = (-\vec{CA_1}) \cdot (-\vec{CA_2}) = \vec{CA_1} \cdot \vec{CA_2}$
• $\vec{B_1A} \cdot \vec{B_2A} = (-\vec{AB_1}) \cdot (-\vec{AB_2}) = \vec{AB_1} \cdot \vec{AB_2}$

Подставим преобразованные знаменатели обратно в выражение для $P$:$$ P = \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{AC_2}}{\vec{BC_1} \cdot \vec{BC_2}} \cdot \frac{\vec{BA_1} \cdot \vec{BA_2}}{\vec{CA_1} \cdot \vec{CA_2}} \cdot \frac{\vec{CB_1} \cdot \vec{CB_2}}{\vec{AB_1} \cdot \vec{AB_2}} $$

Теперь воспользуемся равенствами для степеней точек. Заменим произведения в числителях:$$ P = \frac{\vec{AB_1} \cdot \vec{AB_2}}{\vec{BC_1} \cdot \vec{BC_2}} \cdot \frac{\vec{BC_1} \cdot \vec{BC_2}}{\vec{CA_1} \cdot \vec{CA_2}} \cdot \frac{\vec{CA_1} \cdot \vec{CA_2}}{\vec{AB_1} \cdot \vec{AB_2}} $$

Все множители в числителе и знаменателе сокращаются, и мы получаем:$$ P = 1 $$

Мы знаем, что $P$ является произведением двух выражений, первое из которых (1) равно 1 по условию. Следовательно:$$ 1 \cdot \left(\frac{\vec{AC_2}}{\vec{C_2B}} \cdot \frac{\vec{BA_2}}{\vec{A_2C}} \cdot \frac{\vec{CB_2}}{\vec{B_2A}}\right) = 1 $$

Отсюда следует, что выражение (2) также равно 1. По обратной теореме Чевы, это означает, что прямые $AA_2, BB_2$ и $CC_2$ пересекаются в одной точке.

Ответ: Что и требовалось доказать.