Номер 16.8, страница 125 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.8. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Прямая $MN$ пересекает прямую $AC$ в точке $P$ такой, что $PC = AC$. В каком отношении точка $K$ делит сторону $AC$?

16.8. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB, BC$ и $AC$ в точках $M, N$ и $K$ соответственно. Прямая $MN$ пересекает прямую $AC$ в точке $P$ такой, что $PC = AC$. В каком отношении точка $K$ делит сторону $AC$?

Пусть $a, b, c$ — длины сторон $BC, AC, AB$ треугольника $ABC$ соответственно, и пусть $p = \frac{a+b+c}{2}$ — его полупериметр.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, мы знаем длины отрезков, на которые точки касания делят стороны треугольника:

• $AK = AM = p-a$
• $BM = BN = p-b$
• $CK = CN = p-c$

Рассмотрим треугольник $ABC$ и прямую $PMN$, которая является для него секущей (трансверсалью). Точка $P$ лежит на прямой $AC$, точка $M$ — на стороне $AB$, а точка $N$ — на стороне $BC$. По теореме Менелая для треугольника $ABC$ и секущей $PMN$ справедливо соотношение:

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CN}{NB} \cdot \frac{BM}{MA} = 1$

Из условия задачи известно, что $PC = AC$. Пусть $AC = b$. Тогда $PC = b$. Поскольку точка $P$ является точкой пересечения прямой $MN$ с прямой $AC$, она лежит вне отрезка $AC$. Геометрически, прямая $MN$ отсекает вершину $B$, и для пересечения с прямой $AC$ ее необходимо продлить. Пересечение произойдет на продолжении стороны $AC$ за точку $C$. Таким образом, точка $C$ лежит между точками $A$ и $P$.

Длина отрезка $AP$ равна $AP = AC + PC = b + b = 2b$.

Следовательно, отношение $\frac{AP}{PC} = \frac{2b}{b} = 2$.

Теперь подставим известные длины отрезков в формулу теоремы Менелая:

$\frac{AP}{PC} = 2$

$CN = p-c$

$NB = BN = p-b$

$BM = p-b$

$MA = AM = p-a$

Получаем уравнение:

$2 \cdot \frac{p-c}{p-b} \cdot \frac{p-b}{p-a} = 1$

Сократив $(p-b)$, получим:

$2 \cdot \frac{p-c}{p-a} = 1$

Отсюда следует, что $2(p-c) = p-a$.

Нам нужно найти, в каком отношении точка $K$ делит сторону $AC$. Это отношение равно $\frac{AK}{KC}$.

Используя формулы для длин отрезков касательных:

$\frac{AK}{KC} = \frac{p-a}{p-c}$

Из соотношения, полученного из теоремы Менелая, мы знаем, что $p-a = 2(p-c)$. Подставим это выражение в формулу для искомого отношения:

$\frac{AK}{KC} = \frac{2(p-c)}{p-c} = 2$

Таким образом, точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении $2:1$, считая от вершины $A$.

Ответ: 2:1.