Номер 16.6, страница 125 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.6. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$. Биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $C_1$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ коллинеарны.

16.6. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$. Биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $C_1$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ коллинеарны.

Для доказательства коллинеарности точек $A_1$, $B_1$ и $C_1$ воспользуемся обратной теоремой Менелая для треугольника $ABC$ и точек $A_1, B_1, C_1$, которые лежат на прямых, содержащих стороны этого треугольника (или их продолжениях).

Точка $A_1$ лежит на прямой $BC$, точка $B_1$ — на прямой $AC$, а точка $C_1$ — на прямой $AB$. Согласно обратной теореме Менелая, точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ лежат на одной прямой (коллинеарны), если выполняется следующее равенство для длин отрезков:

$$ \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1 $$

Найдём значение каждого из сомножителей в левой части этого равенства, используя свойства биссектрис. Обозначим длины сторон треугольника $ABC$ как $a = |BC|$, $b = |AC|$ и $c = |AB|$.

1. Отрезок $AA_1$ является биссектрисой внутреннего угла при вершине $A$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} $$

2. Отрезок $BB_1$ является биссектрисой внутреннего угла при вершине $B$. Аналогично, по свойству биссектрисы:

$$ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{BC}{BA} = \frac{a}{c} $$

3. Биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $C_1$. По свойству биссектрисы внешнего угла, она делит противолежащую сторону (внешним образом) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$ \frac{AC_1}{BC_1} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} $$

(В условии теоремы Менелая используется отрезок $C_1B$, длина которого равна длине отрезка $BC_1$).

Теперь подставим полученные выражения для отношений в левую часть равенства из теоремы Менелая:

$$ \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{a} $$

Выполним умножение:

$$ \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{a} = \frac{c \cdot a \cdot b}{b \cdot c \cdot a} = 1 $$

Поскольку произведение отношений равно 1, условие обратной теоремы Менелая выполняется. Следовательно, точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.