Номер 16.2, страница 124 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.2. На сторонах CB и CA треугольника ABC отметили точки A$_{\text{1}}$ и B$_{\text{1}}$ соответственно. Отрезки AA$_{\text{1}}$ и BB$_{\text{1}}$ пересекаются в точке K. Известно, что $\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{2}{3}$, $\frac{BK}{KB_1} = 4$. Найдите, в каком отношении точка K делит отрезок AA$_{\text{1}}$.

16.2. На сторонах $CB$ и $CA$ треугольника $ABC$ отметили точки $A_1$ и $B_1$ соответственно. Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $K$. Известно, что $\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{2}{3}$, $\frac{BK}{KB_1} = 4$. Найдите, в каком отношении точка $K$ делит отрезок $AA_1$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Менелая. Эта теорема утверждает, что для треугольника и пересекающей его стороны (или их продолжения) прямой выполняется определенное соотношение длин отрезков.

1. Применение теоремы Менелая к треугольнику $CBB_1$ и секущей $A_1KA$.

Секущая $A_1KA$ пересекает сторону $CB$ в точке $A_1$, сторону $BB_1$ в точке $K$ и продолжение стороны $CB_1$ в точке $A$.

По теореме Менелая имеем:

$ \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CA}{AB_1} \cdot \frac{B_1K}{KB} = 1 $

Найдем значения отношений из условия задачи:

• Из условия $ \frac{BK}{KB_1} = 4 $, следует, что $ \frac{B_1K}{KB} = \frac{1}{4} $.
• Из условия $ \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{2}{3} $. Пусть $AB_1 = 2x$, тогда $B_1C = 3x$. В этом случае вся сторона $AC = AB_1 + B_1C = 2x + 3x = 5x$. Тогда отношение $ \frac{CA}{AB_1} = \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2} $.

Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$ \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4} = 1 $

$ \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{5}{8} = 1 $

Отсюда находим отношение, в котором точка $A_1$ делит сторону $CB$:

$ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{8}{5} $

2. Применение теоремы Менелая к треугольнику $AA_1C$ и секущей $B_1KB$.

Теперь рассмотрим треугольник $AA_1C$. Секущая $B_1KB$ пересекает сторону $AC$ в точке $B_1$, сторону $AA_1$ в точке $K$ и продолжение стороны $CA_1$ в точке $B$.

По теореме Менелая имеем:

$ \frac{AK}{KA_1} \cdot \frac{A_1B}{BC} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $

Найдем значения отношений для этой формулы:

• Из условия $ \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{2}{3} $, следует, что $ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{3}{2} $.
• Используем найденное ранее отношение $ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{8}{5} $. Пусть $BA_1 = 8y$, тогда $A_1C = 5y$. Вся сторона $BC = BA_1 + A_1C = 8y + 5y = 13y$. Тогда отношение $ \frac{A_1B}{BC} = \frac{8y}{13y} = \frac{8}{13} $.

Подставим эти значения в уравнение теоремы Менелая:

$ \frac{AK}{KA_1} \cdot \frac{8}{13} \cdot \frac{3}{2} = 1 $

$ \frac{AK}{KA_1} \cdot \frac{24}{26} = 1 $

$ \frac{AK}{KA_1} \cdot \frac{12}{13} = 1 $

Из этого уравнения выражаем искомое отношение:

$ \frac{AK}{KA_1} = \frac{13}{12} $

Таким образом, точка K делит отрезок $AA_1$ в отношении 13 к 12, считая от точки A.

Ответ: $13:12$.