Номер 16.9, страница 125 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.9. Решите с помощью теоремы Чевы задачу 15.46.

16.9. Решите с помощью теоремы Чевы задачу 15.46.

Для решения задачи 15.46 воспользуемся методом площадей, который также используется для доказательства теоремы Чевы. По условию, в треугольнике $ABC$ на сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ взяты точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно, причём отрезки (чевианы) $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $M$.

a) Докажите, что $\frac{AM}{MA_1} = \frac{AB_1}{B_1C} + \frac{AC_1}{C_1B}$.

Решение:
Отношение отрезков, лежащих на одной прямой, можно выразить через отношение площадей треугольников, имеющих эти отрезки в качестве оснований и общую вершину.Рассмотрим отношение $\frac{AM}{MA_1}$. Отрезки $AM$ и $MA_1$ лежат на чевиане $AA_1$.Для треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1BM$ с общей вершиной $B$ отношение площадей равно отношению оснований:$\frac{S_{ABM}}{S_{A_1BM}} = \frac{AM}{MA_1}$.Аналогично для треугольников $\triangle ACM$ и $\triangle A_1CM$ с общей вершиной $C$:$\frac{S_{ACM}}{S_{A_1CM}} = \frac{AM}{MA_1}$.Так как эти отношения равны, мы можем использовать свойство пропорций:$\frac{AM}{MA_1} = \frac{S_{ABM} + S_{ACM}}{S_{A_1BM} + S_{A_1CM}} = \frac{S_{ABM} + S_{ACM}}{S_{BCM}}$. (1)

Теперь рассмотрим отношения отрезков на сторонах треугольника $ABC$.Для отношения $\frac{AB_1}{B_1C}$ на стороне $AC$:$\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{S_{ABB_1}}{S_{CBB_1}}$ (общая высота из вершины $B$) и $\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{S_{AMB_1}}{S_{CMB_1}}$ (общая высота из вершины $M$).Используя свойство пропорций, получаем:$\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{S_{ABB_1} - S_{AMB_1}}{S_{CBB_1} - S_{CMB_1}} = \frac{S_{ABM}}{S_{CBM}}$. (2)

Аналогично для отношения $\frac{AC_1}{C_1B}$ на стороне $AB$:$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{S_{ACC_1}}{S_{BCC_1}}$ (общая высота из вершины $C$) и $\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{S_{AMC_1}}{S_{BMC_1}}$ (общая высота из вершины $M$).Следовательно:$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{S_{ACC_1} - S_{AMC_1}}{S_{BCC_1} - S_{BMC_1}} = \frac{S_{ACM}}{S_{BCM}}$. (3)

Теперь сложим равенства (2) и (3):$\frac{AB_1}{B_1C} + \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} + \frac{S_{ACM}}{S_{BCM}} = \frac{S_{ABM} + S_{ACM}}{S_{BCM}}$. (4)

Сравнивая правые части равенств (1) и (4), получаем требуемое тождество:$\frac{AM}{MA_1} = \frac{AB_1}{B_1C} + \frac{AC_1}{C_1B}$.Это утверждение известно как теорема Ван-Обеля.
Ответ: Утверждение доказано.

b) Докажите, что $\frac{S_{AB_1M}}{S_{MB_1C}} = \frac{AM}{MC} \cdot \frac{AB_1}{B_1C}$.

Решение:
Рассмотрим левую часть равенства. Треугольники $\triangle AB_1M$ и $\triangle MB_1C$ имеют основания $AB_1$ и $B_1C$, лежащие на одной прямой $AC$, и общую вершину $M$. Следовательно, они имеют общую высоту, проведенную из вершины $M$ к прямой $AC$.Отношение площадей этих треугольников равно отношению длин их оснований:$\frac{S_{AB_1M}}{S_{MB_1C}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot h_M}{\frac{1}{2} \cdot B_1C \cdot h_M} = \frac{AB_1}{B_1C}$, где $h_M$ — высота из точки $M$ на прямую $AC$.

Подставим это выражение в исходное равенство, которое требуется доказать:$\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AM}{MC} \cdot \frac{AB_1}{B_1C}$.

Сократив $\frac{AB_1}{B_1C}$ (так как $B_1$ — точка на стороне, а не вершина, эта дробь не равна нулю), мы получаем:$1 = \frac{AM}{MC}$, что равносильно $AM = MC$.

Однако равенство $AM = MC$ в общем случае не выполняется. Оно справедливо только в частных случаях, например, если чевиана $BB_1$ является медианой и высотой одновременно, то есть когда треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC$) и $BB_1$ - ось симметрии. Но задача ставится для произвольного треугольника и произвольных чевиан, пересекающихся в одной точке.

Таким образом, исходное утверждение в пункте б) неверно. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка.
Ответ: Утверждение в задаче неверно в общем случае, так как оно эквивалентно неверному в общем случае утверждению $AM=MC$.