Номер 16.14, страница 125 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.14. Окружность с центром $O_1$ касается двух окружностей с центрами $O_2$ и $O_3$ в точках $B$ и $A$ соответственно (рис. 16.10). Докажите, что точка $C$ — точка пересечения общих касательных к окружностям с центрами $O_2$ и $O_3$ — принадлежит прямой $AB$.

Рис. 16.10

16.14. Окружность с центром $O_1$ касается двух окружностей с центрами $O_2$ и $O_3$ в точках $B$ и $A$ соответственно (рис. 16.10). Докажите, что точка $C$ — точка пересечения общих касательных к окружностям с центрами $O_2$ и $O_3$ — принадлежит прямой $AB$.

Рис. 16.10

Для доказательства этого утверждения воспользуемся понятием гомотетии (преобразования подобия) и теоремой Монжа о трех центрах гомотетии.

1. Центр гомотетии для окружностей с центрами $O_2$ и $O_3$.

Точка $C$ является точкой пересечения общих внешних касательных к окружностям с центрами $O_2$ и $O_3$. По определению, точка пересечения общих внешних касательных двух окружностей является их внешним центром гомотетии. Эта гомотетия, назовем ее $H_C$, переводит окружность с центром $O_3$ в окружность с центром $O_2$ (или наоборот) с положительным коэффициентом.

2. Центр гомотетии для окружностей с центрами $O_1$ и $O_3$.

Окружность с центром $O_1$ касается окружности с центром $O_3$ в точке $A$. Точка касания двух окружностей всегда является их центром гомотетии. Поскольку окружности касаются внешним образом, точка $A$ является их внутренним центром гомотетии. Эта гомотетия, назовем ее $H_A$, переводит окружность с центром $O_3$ в окружность с центром $O_1$ с отрицательным коэффициентом.

3. Центр гомотетии для окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$.

Аналогично, окружность с центром $O_1$ касается окружности с центром $O_2$ в точке $B$. Следовательно, точка $B$ является центром гомотетии для этих двух окружностей. Так как касание внешнее, $B$ — это внутренний центр гомотетии. Назовем эту гомотетию $H_B$.

4. Применение теоремы Монжа.

Теорема о трех центрах гомотетии (теорема Монжа) гласит, что три центра гомотетии для любых трех окружностей, взятых попарно, лежат на одной прямой. При этом либо все три центра гомотетии являются внешними, либо один из них внешний, а два других — внутренние.

В нашей задаче мы имеем три центра гомотетии для трех пар окружностей:

• $C$ — внешний центр гомотетии для окружностей с центрами $O_2$ и $O_3$.
• $A$ — внутренний центр гомотетии для окружностей с центрами $O_1$ и $O_3$.
• $B$ — внутренний центр гомотетии для окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$.

Согласно теореме Монжа, один внешний и два внутренних центра гомотетии лежат на одной прямой. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ коллинеарны, то есть точка $C$ принадлежит прямой $AB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано с помощью теоремы Монжа о трех центрах гомотетии.