Номер 16.18, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.18. На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ отметили точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно так, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$. Прямая, проходящая через точку $O$ параллельно стороне $AC$, пересекает отрезки $A_1B_1$ и $B_1C_1$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Докажите, что $OK = OM$.

16.18. На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ отметили точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно так, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$. Прямая, проходящая через точку $O$ параллельно стороне $AC$, пересекает отрезки $A_1B_1$ и $B_1C_1$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Докажите, что $OK = OM$.

Для решения этой задачи удобно использовать метод барицентрических координат. В барицентрической системе координат положение любой точки $P$ на плоскости можно представить в виде $P = x_P A + y_P B + z_P C$, где $A, B, C$ — вершины опорного треугольника, а $(x_P, y_P, z_P)$ — барицентрические координаты точки $P$, для которых выполняется условие $x_P + y_P + z_P = 1$. Вершины треугольника имеют координаты $A=(1,0,0)$, $B=(0,1,0)$, $C=(0,0,1)$.

1. Определение координат ключевых точек.

Пусть $O$ — точка пересечения чевиан $AA_1, BB_1, CC_1$. Её барицентрические координаты $(x, y, z)$, где $x+y+z=1$. Точки $A_1, B_1, C_1$ являются следами вершин $A, B, C$ на противоположных сторонах. Их координаты выражаются через координаты точки $O$:

• $A_1$ лежит на $BC$, её первая координата равна 0. $A_1$ также лежит на прямой $AO$. Координаты $A_1$ пропорциональны $(0, y, z)$. Нормируя, получаем $A_1 = (0, \frac{y}{y+z}, \frac{z}{y+z})$.
• $B_1$ лежит на $AC$, её вторая координата равна 0. Аналогично, $B_1 = (\frac{x}{x+z}, 0, \frac{z}{x+z})$.
• $C_1$ лежит на $AB$, её третья координата равна 0. Аналогично, $C_1 = (\frac{x}{x+y}, \frac{y}{x+y}, 0)$.

Прямая, проходящая через точку $O$ параллельно стороне $AC$, обозначим её $l$. Прямая $AC$ в барицентрических координатах задаётся уравнением $\lambda_B = 0$. Любая прямая, параллельная $AC$, имеет уравнение $\lambda_B = const$. Поскольку точка $O(x, y, z)$ лежит на прямой $l$, её уравнение — $\lambda_B = y$.

2. Нахождение координат точки K.

Точка $K$ является пересечением прямой $l$ и отрезка $A_1B_1$. Чтобы найти её координаты $(x_K, y_K, z_K)$, нужно решить систему уравнений.

Уравнение прямой $A_1B_1$ можно найти, используя координаты точек $A_1(0, \frac{y}{y+z}, \frac{z}{y+z})$ и $B_1(\frac{x}{x+z}, 0, \frac{z}{x+z})$. Проще использовать ненормированные координаты $A_1(0:y:z)$ и $B_1(x:0:z)$. Уравнение прямой, проходящей через эти точки, имеет вид:$ \det \begin{pmatrix} \lambda_A & \lambda_B & \lambda_C \\ 0 & y & z \\ x & 0 & z \end{pmatrix} = 0 $$yz \lambda_A + xz \lambda_B - xy \lambda_C = 0$.

Координаты точки $K(x_K, y_K, z_K)$ удовлетворяют этому уравнению и уравнению прямой $l$: $y_K=y$. Также $x_K+y_K+z_K=1$.Подставляем $y_K=y$ в уравнение прямой $A_1B_1$:$yz x_K + xz y - xy z_K = 0$.При $x,y,z \neq 0$ можно разделить на $xyz$: $\frac{x_K}{x} + \frac{y}{y} - \frac{z_K}{z} = 0 \implies \frac{x_K}{x} - \frac{z_K}{z} = -1$.Получаем систему уравнений:$ \begin{cases} z x_K - x z_K = -xz \\ x_K + z_K = 1 - y \end{cases} $Так как $x+y+z=1$, то $1-y = x+z$.$ \begin{cases} z x_K - x z_K = -xz \\ x_K + z_K = x+z \end{cases} $Решая эту систему, находим: $x_K = \frac{x^2}{x+z}$ и $z_K = \frac{z(2x+z)}{x+z}$.Таким образом, $K = (\frac{x^2}{x+z}, y, \frac{z(2x+z)}{x+z})$.

3. Нахождение координат точки M.

Точка $M$ является пересечением прямой $l$ и отрезка $B_1C_1$. Её координаты $(x_M, y_M, z_M)$ находятся аналогично.

Уравнение прямой $B_1C_1$ проходит через точки с ненормированными координатами $B_1(x:0:z)$ и $C_1(x:y:0)$:$ \det \begin{pmatrix} \lambda_A & \lambda_B & \lambda_C \\ x & 0 & z \\ x & y & 0 \end{pmatrix} = 0 $$-yz \lambda_A + xz \lambda_B + xy \lambda_C = 0$.

Координаты точки $M(x_M, y_M, z_M)$ удовлетворяют этому уравнению и $y_M=y$, $x_M+y_M+z_M=1$.Подставляем $y_M=y$:$-yz x_M + xz y + xy z_M = 0$.Делим на $xyz$: $-\frac{x_M}{x} + 1 + \frac{z_M}{z} = 0 \implies \frac{x_M}{x} - \frac{z_M}{z} = 1$.Получаем систему:$ \begin{cases} z x_M - x z_M = xz \\ x_M + z_M = 1 - y = x+z \end{cases} $Решая систему, находим: $x_M = \frac{x(x+2z)}{x+z}$ и $z_M = \frac{z^2}{x+z}$.Таким образом, $M = (\frac{x(x+2z)}{x+z}, y, \frac{z^2}{x+z})$.

4. Доказательство равенства OK = OM.

Чтобы доказать, что $OK=OM$, достаточно показать, что точка $O$ является серединой отрезка $KM$. В барицентрических координатах это означает, что координаты точки $O$ являются полусуммой соответствующих координат точек $K$ и $M$:$O = \frac{K+M}{2} \iff (x,y,z) = (\frac{x_K+x_M}{2}, \frac{y_K+y_M}{2}, \frac{z_K+z_M}{2})$.

Проверим это равенство для каждой координаты:

• Для второй координаты: $\frac{y_K+y_M}{2} = \frac{y+y}{2} = y$. Верно.
• Для первой координаты: $\frac{x_K+x_M}{2} = \frac{1}{2} (\frac{x^2}{x+z} + \frac{x(x+2z)}{x+z}) = \frac{1}{2} \frac{x^2 + x^2 + 2xz}{x+z} = \frac{1}{2} \frac{2x^2 + 2xz}{x+z} = \frac{x(x+z)}{x+z} = x$. Верно.
• Для третьей координаты: $\frac{z_K+z_M}{2} = \frac{1}{2} (\frac{z(2x+z)}{x+z} + \frac{z^2}{x+z}) = \frac{1}{2} \frac{2xz + z^2 + z^2}{x+z} = \frac{1}{2} \frac{2xz + 2z^2}{x+z} = \frac{z(x+z)}{x+z} = z$. Верно.

Поскольку координаты точки $O$ являются полусуммой координат точек $K$ и $M$, точка $O$ — середина отрезка $KM$. Следовательно, длины отрезков $OK$ и $OM$ равны.

Ответ: Равенство $OK = OM$ доказано.