Номер 17.5, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.5. На плоскости заданы точки $O$, $M$ и $B_1$, являющиеся соответственно центром описанной окружности, точкой пересечения медиан и основанием высоты $BB_1$ треугольника $ABC$. Постройте треугольник $ABC$.

17.5. На плоскости заданы точки $O$, $M$ и $B_1$, являющиеся соответственно центром описанной окружности, точкой пересечения медиан и основанием высоты $BB_1$ треугольника $ABC$. Постройте треугольник $ABC$.

Для построения искомого треугольника $ABC$ воспользуемся известными свойствами ортоцентра, центра описанной окружности и центроида (точки пересечения медиан). Построение выполним в несколько шагов.

1. Построение ортоцентра H.

   Известно, что центр описанной окружности $O$, центроид $M$ и ортоцентр $H$ треугольника лежат на одной прямой (прямой Эйлера), причём точка $M$ делит отрезок $OH$ в отношении $OM:MH = 1:2$. Это можно выразить векторным равенством $\vec{OH} = 3\vec{OM}$. Для построения точки $H$ проведём прямую через точки $O$ и $M$. На этой прямой от точки $O$ в направлении точки $M$ отложим отрезок $OH$, длина которого в три раза больше длины отрезка $OM$. Полученная точка $H$ является ортоцентром треугольника $ABC$.

2. Построение прямой, содержащей сторону AC.

   Точка $B_1$ является основанием высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$. Следовательно, прямая, содержащая сторону $AC$, проходит через точку $B_1$ и перпендикулярна высоте $BB_1$. Ортоцентр $H$ является точкой пересечения высот, поэтому он лежит на прямой, содержащей высоту $BB_1$. Таким образом, точки $B$, $H$ и $B_1$ лежат на одной прямой. Отсюда следует, что прямая $AC$ перпендикулярна прямой, проходящей через точки $H$ и $B_1$. Проведём прямую через $H$ и $B_1$ и построим в точке $B_1$ перпендикуляр к этой прямой. Эта перпендикулярная прямая (обозначим её $l$) содержит сторону $AC$.

3. Построение середины стороны AC.

   Центр описанной окружности $O$ равноудалён от вершин треугольника. Перпендикуляр, опущенный из центра описанной окружности на сторону треугольника, делит эту сторону пополам. Обозначим середину стороны $AC$ как $K$. Точка $K$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $l$. Построим этот перпендикуляр. Точка его пересечения с прямой $l$ и есть искомая точка $K$.

4. Построение вершины B.

   Для нахождения вершины $B$ используем свойство, связывающее ортоцентр, центр описанной окружности и середину стороны: вектор, проведённый из вершины $B$ к ортоцентру $H$, вдвое больше вектора, проведённого из центра описанной окружности $O$ к середине противоположной стороны $K$, т.е. $\vec{BH} = 2\vec{OK}$. Это равенство позволяет однозначно определить положение точки $B$. Выразим положение $B$ через известные точки: $\vec{H} - \vec{B} = 2\vec{OK}$, откуда $\vec{B} = \vec{H} - 2\vec{OK}$. В координатах с началом в точке O: $\vec{OB} = \vec{OH} - 2\vec{OK}$.
   Для построения точки $B$ можно выполнить следующие действия:
   1. Построить вектор $\vec{v} = 2\vec{KO}$ (удвоить отрезок $KO$ в направлении от $K$ к $O$).
   2. Отложить от точки $H$ вектор $\vec{v}$. Конец этого вектора и будет вершиной $B$.

5. Построение вершин A и C.

   Теперь, когда известны центр описанной окружности $O$ и одна из вершин $B$, мы можем определить радиус описанной окружности $R$ как длину отрезка $OB$. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Вершины $A$ и $C$ лежат на этой окружности, а также на прямой $l$, построенной в шаге 2. Следовательно, точки $A$ и $C$ являются точками пересечения окружности и прямой $l$.

6. Построение треугольника ABC.

   Соединив отрезками точки $A$, $B$ и $C$, получаем искомый треугольник $ABC$.

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный в соответствии с описанным алгоритмом, является искомым.