Номер 17.9, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.9. Прямая, содержащая высоту $AA_1$ треугольника $ABC$, пересекает описанную окружность этого треугольника в точке $D$. Найдите расстояние от центра окружности девяти точек треугольника $ABC$ до стороны $BC$, если $AD = a$.

17.9. Прямая, содержащая высоту $AA_1$ треугольника $ABC$, пересекает описанную окружность этого треугольника в точке $D$. Найдите расстояние от центра окружности девяти точек треугольника $ABC$ до стороны $BC$, если $AD = a$.

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, $H$ — его ортоцентр. Центр окружности девяти точек $N$ является серединой отрезка $OH$. Искомое расстояние — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $N$ на прямую $BC$.

Введём в рассмотрение точку $A'$, диаметрально противоположную вершине $A$ на описанной окружности. Тогда $AA'$ является диаметром этой окружности.Рассмотрим треугольник $ADA'$. Поскольку угол $\angle ADA'$ опирается на диаметр $AA'$, он является прямым, то есть $\angle ADA' = 90^\circ$. Это означает, что прямая $A'D$ перпендикулярна прямой $AD$.

По условию, прямая $AD$ содержит высоту $AA_1$, следовательно, она перпендикулярна стороне $BC$. Таким образом, $AD \perp BC$.

Так как прямые $A'D$ и $BC$ перпендикулярны одной и той же прямой $AD$, они параллельны друг другу: $A'D \parallel BC$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим начало координат в центр описанной окружности $O$. Пусть радиус описанной окружности равен $R$. Тогда координаты любой точки $X$ на окружности удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = R^2$.

Выберем систему координат так, чтобы прямая, проходящая через $O$ и перпендикулярная $BC$ (серединный перпендикуляр к $BC$), совпадала с осью ординат ($Oy$). Тогда прямая $BC$, будучи перпендикулярной оси $Oy$, будет горизонтальной. Уравнение прямой $BC$ будет иметь вид $y = y_0$ для некоторой константы $y_0$.

Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна $BC$, она будет вертикальной. Пусть её уравнение $x = x_A$. Тогда координаты точек $A$ и $D$ будут $A(x_A, y_A)$ и $D(x_A, y_D)$.

Точка $A'$ диаметрально противоположна точке $A$, а начало координат находится в центре окружности $O$. Следовательно, её координаты $A'(-x_A, -y_A)$.

Мы установили, что $A'D \parallel BC$. Так как $BC$ — горизонтальная прямая, то и $A'D$ — горизонтальная прямая. Это означает, что y-координаты точек $A'$ и $D$ равны: $y_D = y_{A'} = -y_A$.

Теперь используем условие задачи $AD = a$. Расстояние между точками $A(x_A, y_A)$ и $D(x_A, -y_A)$ равно:$a = AD = \sqrt{(x_A - x_A)^2 + (y_A - (-y_A))^2} = \sqrt{(2y_A)^2} = |2y_A|$Отсюда получаем $|y_A| = \frac{a}{2}$.

Теперь найдем расстояние от центра окружности девяти точек $N$ до стороны $BC$. В выбранной системе координат с центром в $O$ вектор радиус-вектор ортоцентра $\vec{H}$ равен сумме радиус-векторов вершин: $\vec{H} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$.Центр окружности девяти точек $N$ является серединой отрезка $OH$, поэтому его радиус-вектор $\vec{N} = \frac{1}{2}\vec{H} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})$.

Нас интересует y-координата точки $N$:$y_N = \frac{1}{2}(y_A + y_B + y_C)$Точки $B$ и $C$ лежат на прямой $BC$, уравнение которой $y=y_0$. Таким образом, $y_B = y_C = y_0$.Подставляя это в выражение для $y_N$, получаем:$y_N = \frac{1}{2}(y_A + y_0 + y_0) = \frac{1}{2}y_A + y_0$

Искомое расстояние от точки $N$ до прямой $BC$ (линии $y=y_0$) равно модулю разности их y-координат:$d(N, BC) = |y_N - y_0| = |\left(\frac{1}{2}y_A + y_0\right) - y_0| = |\frac{1}{2}y_A| = \frac{1}{2}|y_A|$

Ранее мы нашли, что $|y_A| = \frac{a}{2}$. Подставляя это значение, получаем окончательный результат:$d(N, BC) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{4}$

Ответ: $\frac{a}{4}$.