Номер 17.6, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.6. Постройте треугольник $ABC$ по его ортоцентру, вершине $A$ и середине стороны $BC$.

17.6. Постройте треугольник $ABC$ по его ортоцентру, вершине $A$ и середине стороны $BC$.

Анализ

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим заданные точки: $A$ — вершина, $H$ — ортоцентр (точка пересечения высот), $M$ — середина стороны $BC$. Нам нужно построить вершины $B$ и $C$.

Для решения задачи воспользуемся известным свойством, связывающим ортоцентр $H$, центр описанной окружности $O$ и середину стороны $M$. Расстояние от вершины до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны. Для вершины $A$ и стороны $BC$ это свойство выражается векторным равенством:

$\vec{AH} = 2\vec{OM}$

Это соотношение позволяет нам найти положение центра описанной окружности $O$. Пусть $P$ — середина отрезка $AH$. Тогда $\vec{AH} = 2\vec{AP}$. Подставляя это в исходное равенство, получаем:

$2\vec{AP} = 2\vec{OM}$, что равносильно $\vec{AP} = \vec{OM}$.

Векторное равенство $\vec{AP} = \vec{OM}$ означает, что четырехугольник $APMO$ является параллелограммом (возможно, вырожденным). Так как точки $A$, $H$ и $M$ заданы, мы можем построить точку $P$ как середину $AH$, а затем, используя свойство параллелограмма, построить и точку $O$.

После того как центр описанной окружности $O$ найден, мы можем построить саму окружность. Она проходит через известную вершину $A$, поэтому ее радиус равен $R = OA$. Вершины $B$ и $C$ также лежат на этой окружности.

Кроме того, сторона $BC$ проходит через свою середину $M$. Так как $O$ — центр описанной окружности, а $M$ — середина хорды $BC$, то прямая, содержащая радиус $OM$, перпендикулярна хорде $BC$. Следовательно, прямая $BC$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна отрезку $OM$.

Таким образом, вершины $B$ и $C$ являются точками пересечения описанной окружности и прямой, проходящей через $M$ перпендикулярно $OM$. На этом основан план построения.

Построение

1. Соединить точки $A$ и $H$ отрезком. Построить его середину — точку $P$.
2. Построить точку $O$ так, чтобы четырехугольник $APMO$ был параллелограммом. Один из способов:
   • Соединить точки $A$ и $M$ отрезком. Найти его середину — точку $K$.
   • Провести прямую через точки $P$ и $K$.
   • На этой прямой отложить от точки $K$ отрезок $KO$, равный $PK$, так, чтобы $K$ была серединой отрезка $PO$. Точка $O$ — искомый центр описанной окружности.
3. Построить описанную окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$.
4. Провести прямую через точки $O$ и $M$.
5. Через точку $M$ провести прямую $l$, перпендикулярную прямой $OM$.
6. Точки пересечения прямой $l$ и окружности $\omega$ обозначить как $B$ и $C$.
7. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Искомый треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

Нужно доказать, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи: у него вершина в точке $A$, ортоцентр в точке $H$ и середина стороны $BC$ в точке $M$.

1. Вершина $A$ является вершиной треугольника по построению.

2. Точки $B$ и $C$ лежат на окружности с центром $O$. Прямая $l$, на которой лежат $B$, $C$ и $M$, построена перпендикулярно прямой $OM$. В окружности прямая, проходящая через центр и перпендикулярная хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно, $M$ — середина стороны $BC$.

3. По построению точки $O$, четырехугольник $APMO$ — параллелограмм (его диагонали $AM$ и $PO$ пересекаются в середине $K$). Из этого следует векторное равенство $\vec{AP} = \vec{OM}$. Точка $P$ — середина $AH$, поэтому $\vec{AH} = 2\vec{AP}$. Отсюда получаем $\vec{AH} = 2\vec{OM}$. Это свойство однозначно определяет ортоцентр $H$ для треугольника с вершиной $A$, центром описанной окружности $O$ и серединой стороны $BC$ в точке $M$. Следовательно, $H$ — ортоцентр построенного треугольника $ABC$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Построение возможно, если прямая $l$ пересекает окружность $\omega$, то есть когда расстояние от центра $O$ до прямой $l$ не превышает радиус окружности. Расстояние от $O$ до $l$ равно длине отрезка $OM$, а радиус равен $OA$. Таким образом, для существования решения необходимо и достаточно выполнение условия $OM \le OA$.

Из свойств параллелограмма $APMO$ имеем $OM = AP$ и $OA = PM$. Так как $P$ — середина $AH$, то $AP = \frac{1}{2}AH$. Условие существования решения принимает вид $\frac{1}{2}AH \le PM$. Это условие не всегда выполняется, так что не для любого начального расположения точек $A, H, M$ задача имеет решение.

Если $OM = OA$, прямая $l$ касается окружности $\omega$, точки $B$ и $C$ совпадают с $M$, и треугольник вырождается в отрезок.

Если $A = H$, то треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. В этом случае ортоцентр совпадает с $A$, а центр описанной окружности $O$ — с серединой гипотенузы $BC$, то есть $O=M$. Общий метод построения в этом случае не работает. Построение выполняется так: строится окружность с центром в $M$ и радиусом $MA$. Сторона $BC$ является произвольным диаметром этой окружности. В этом случае задача имеет бесконечно много решений.

Ответ: Построение треугольника описано в соответствующем разделе. Оно основано на нахождении центра описанной окружности $O$ из условия, что четырехугольник $APMO$ является параллелограммом, где $P$ — середина отрезка $AH$, а затем нахождении вершин $B$ и $C$ как точек пересечения описанной окружности и прямой, проходящей через $M$ перпендикулярно $OM$.