Номер 17.7, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.7. На плоскости заданы точки $O$, $M$ и $A_1$, являющиеся соответственно центром описанной окружности, точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ с описанной окружностью. Постройте треугольник $ABC$.

17.7. На плоскости заданы точки $O$, $M$ и $A_1$, являющиеся соответственно центром описанной окружности, точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ с описанной окружностью. Постройте треугольник $ABC$.

Для построения треугольника $ABC$ воспользуемся методом анализа, который позволит свести задачу к последовательности стандартных построений.

Анализ

Предположим, что треугольник $ABC$ построен. Пусть $O$ — центр его описанной окружности $\Omega$, $M$ — точка пересечения медиан (центроид), а $A_1$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с окружностью $\Omega$.

1. Поскольку точки $O$ и $A_1$ заданы, мы можем определить описанную окружность $\Omega$. Ее центр — точка $O$, а радиус $R$ равен длине отрезка $OA_1$.

2. Точка $A_1$ лежит на биссектрисе угла $A$. По свойству вписанных углов, дуги $BA_1$ и $CA_1$ равны. Это означает, что точка $A_1$ является серединой дуги $BC$. Следовательно, радиус $OA_1$ перпендикулярен хорде $BC$ и делит ее пополам.

3. Пусть $K_a$ — середина стороны $BC$. Тогда $K_a$ лежит на прямой $OA_1$.

4. Точка $K_a$ как середина стороны треугольника, лежит на окружности девяти точек (окружности Эйлера) $\Omega_9$ для $\triangle ABC$.

5. Окружность девяти точек $\Omega_9$ имеет радиус $R_9 = R/2 = OA_1/2$. Ее центр, точка $O_9$, может быть найден с помощью гомотетии с центром в центроиде $M$ и коэффициентом $k = -1/2$, которая переводит описанную окружность $\Omega$ в окружность девяти точек $\Omega_9$. Эта же гомотетия переводит центр $O$ в центр $O_9$. Отсюда следует векторное соотношение $\vec{MO_9} = -\frac{1}{2}\vec{MO}$. Это соотношение позволяет однозначно построить точку $O_9$. Из него следует, что $\vec{OO_9} = \vec{OM} + \vec{MO_9} = \vec{OM} - \frac{1}{2}\vec{MO} = \vec{OM} + \frac{1}{2}\vec{OM} = \frac{3}{2}\vec{OM}$.

6. Таким образом, точка $K_a$ может быть найдена как точка пересечения прямой $OA_1$ и окружности девяти точек $\Omega_9$.

7. После нахождения точки $K_a$, мы можем найти вершину $A$. Вершина $A$ лежит на описанной окружности $\Omega$ и на медиане, проходящей через $M$ и $K_a$. При этом центроид $M$ делит медиану $AK_a$ в отношении $2:1$, считая от вершины, т.е. $AM = 2MK_a$. Это позволяет однозначно найти точку $A$.

8. Зная середину $K_a$ стороны $BC$ и направление этой стороны (перпендикулярно $OA_1$), мы можем найти вершины $B$ и $C$ как точки пересечения прямой, проходящей через $K_a$ перпендикулярно $OA_1$, с описанной окружностью $\Omega$.

Построение

1. Провести отрезок $OA_1$. Построить окружность $\Omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA_1$.
2. Провести прямую $OM$. На луче $OM$ отложить от точки $O$ отрезок $OO_9$ длиной $\frac{3}{2}OM$. Это можно сделать, найдя середину $OM$ и отложив от точки $M$ на луче $OM$ отрезок, равный половине $OM$. Полученная точка $O_9$ является центром окружности девяти точек.
3. Построить окружность девяти точек $\Omega_9$ с центром в $O_9$ и радиусом $R_9 = R/2 = OA_1/2$.
4. Провести прямую $OA_1$. Найти точку (или точки) $K_a$ как пересечение прямой $OA_1$ и окружности $\Omega_9$. Если таких точек нет, решения не существует. Если точек две, то возможно два решения. Выберем одну из них для дальнейшего построения.
5. Провести прямую через точки $M$ и $K_a$.
6. Найти точки пересечения прямой $MK_a$ с описанной окружностью $\Omega$. Из двух точек пересечения выбрать ту точку $A$, для которой $M$ лежит между $A$ и $K_a$. (Эта точка также удовлетворяет условию $AM = 2MK_a$).
7. Провести через точку $K_a$ прямую $l$ перпендикулярно прямой $OA_1$.
8. Найти вершины $B$ и $C$ как точки пересечения прямой $l$ с описанной окружностью $\Omega$.

Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

Построенные точки $A$, $B$, $C$ по шагам 6 и 8 лежат на окружности $\Omega$ с центром $O$. Следовательно, $O$ является центром описанной окружности $\triangle ABC$.

По шагу 7, прямая $l$, на которой лежат $B$ и $C$, проходит через $K_a$ и перпендикулярна радиусу $OA_1$. Так как $B$ и $C$ лежат на окружности $\Omega$, хорда $BC$ перпендикулярна радиусу $OA_1$, а значит, $K_a$ — середина стороны $BC$.

По шагам 5 и 6, точки $A$, $M$, $K_a$ лежат на одной прямой, и $M$ делит отрезок $AK_a$ в отношении $2:1$, считая от вершины $A$. Так как $AK_a$ является отрезком, соединяющим вершину с серединой противоположной стороны, это медиана. Следовательно, $M$ — точка пересечения медиан $\triangle ABC$.

Поскольку $OA_1$ является серединным перпендикуляром к хорде $BC$, точка $A_1$ равноудалена от $B$ и $C$. Равные хорды $A_1B$ и $A_1C$ стягивают равные дуги. Следовательно, вписанные углы $\angle BAA_1$ и $\angle CAA_1$, опирающиеся на эти дуги, равны. Это означает, что луч $AA_1$ является биссектрисой угла $A$. Так как $A_1$ по условию лежит на описанной окружности, она и есть точка пересечения биссектрисы угла $A$ с описанной окружностью.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача может иметь решение не при любом расположении точек $O, M, A_1$.

• На шаге 4 построения прямая $OA_1$ и окружность $\Omega_9$ могут иметь две, одну или ноль точек пересечения. Соответственно, может быть два, одно или ноль возможных положений для точки $K_a$.
• На шаге 6 для каждой найденной $K_a$ точка $A$ определяется однозначно, но она должна лежать на окружности $\Omega$, что является дополнительным условием существования решения для данной $K_a$.
• На шаге 8 прямая $l$ должна пересекать окружность $\Omega$ (т.е. расстояние $OK_a$ не должно превышать радиус $R$).

В зависимости от взаимного расположения заданных точек, задача может иметь два, одно или не иметь решений.

Ответ: Алгоритм построения треугольника $ABC$ описан в разделе "Построение".