Номер 17.8, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.8. Постройте треугольник $ABC$ по прямой, содержащей сторону $BC$, центроиду и точке пересечения описанной окружности с прямой, содержащей высоту, проведённую из вершины $A$.

17.8. Постройте треугольник $ABC$ по прямой, содержащей сторону $BC$, центроиду и точке пересечения описанной окружности с прямой, содержащей высоту, проведённую из вершины $A$.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Обозначим данные нам объекты: $l_{BC}$ – прямая, содержащая сторону $BC$; $M$ – центроид (точка пересечения медиан); $K$ – точка пересечения описанной окружности $\omega$ с прямой, содержащей высоту $AH_A$, где $H_A$ – основание высоты на прямой $l_{BC}$.

1. Пусть $A_1$ – середина стороны $BC$. Тогда $AA_1$ – медиана. Центроид $M$ лежит на медиане $AA_1$ и делит её в отношении $AM : MA_1 = 2 : 1$.

2. Расстояние от вершины $A$ до прямой $l_{BC}$ равно длине высоты $AH_A$. Расстояние от центроида $M$ до прямой $l_{BC}$ связано с $AH_A$. Если провести через $M$ прямую, параллельную $l_{BC}$, то по теореме Фалеса (или из подобия треугольников $\triangle AA_1H_A$ и $\triangle MA_1M_p$, где $M_p$ - проекция $M$ на $l_{BC}$) следует, что расстояние от $M$ до $l_{BC}$ в 3 раза меньше расстояния от $A$ до $l_{BC}$. Таким образом, мы можем определить, на какой прямой, параллельной $l_{BC}$, лежит вершина $A$.

3. Прямая, содержащая высоту $AH_A$, проходит через вершину $A$ и перпендикулярна прямой $l_{BC}$. По условию, точка $K$ лежит на этой прямой. Следовательно, прямая $AK$ является прямой, содержащей высоту, и она перпендикулярна $l_{BC}$. Это позволяет однозначно найти прямую, на которой лежит высота из $A$.

4. Пересечение двух найденных прямых (параллельной $l_{BC}$ из п.2 и перпендикулярной $l_{BC}$ из п.3) даст нам положение вершины $A$.

5. Зная положение точек $A$ и $M$, мы можем найти точку $A_1$ (середину $BC$), так как $A_1$ лежит на луче $AM$ и $MA_1 = \frac{1}{2} AM$.

6. Теперь нужно найти вершины $B$ и $C$. Они лежат на прямой $l_{BC}$ и симметричны относительно точки $A_1$. Для их нахождения нам нужна описанная окружность $\omega$. Центр описанной окружности $O$ равноудален от всех вершин, в том числе от $A$, $B$ и $C$. Также по условию точка $K$ лежит на $\omega$.

7. Центр $O$ лежит на серединном перпендикуляре к любой хорде окружности.
- Так как $A$ и $K$ лежат на $\omega$, то $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AK$.
- Так как $B$ и $C$ лежат на $\omega$, то $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$. Этот перпендикуляр проходит через середину $BC$ (точку $A_1$) и перпендикулярен $l_{BC}$.

8. Таким образом, центр $O$ находится как точка пересечения двух серединных перпендикуляров (к $AK$ и к $BC$). После нахождения $O$ мы можем построить описанную окружность радиусом $R = OA$.

9. Точки $B$ и $C$ находятся как точки пересечения построенной окружности $\omega$ с данной прямой $l_{BC}$.

На основе этого анализа можно составить план построения.

Построение

1. Из точки $M$ опустим перпендикуляр $MM_p$ на прямую $l_{BC}$.
2. На луче $M_pM$ отложим отрезок $MP' = 2 \cdot M_pM$. Через полученную точку $P'$ проведем прямую $l_A'$, параллельную $l_{BC}$. Эта прямая является геометрическим местом точек, удаленных от $l_{BC}$ на расстояние $3 \cdot MM_p$. На ней лежит вершина $A$.
3. Через точку $K$ проведем прямую $l_A''$, перпендикулярную прямой $l_{BC}$. На этой прямой лежит высота из вершины $A$.
4. На пересечении прямых $l_A'$ и $l_A''$ получим вершину $A$.
5. Соединим точки $A$ и $M$. На луче $AM$ за точкой $M$ отложим отрезок $MA_1 = \frac{1}{2}AM$. Точка $A_1$ является серединой стороны $BC$.
6. Построим серединный перпендикуляр $p_1$ к отрезку $AK$.
7. Через точку $A_1$ проведем прямую $p_2$, перпендикулярную прямой $l_{BC}$. Это серединный перпендикуляр к стороне $BC$.
8. На пересечении прямых $p_1$ и $p_2$ получим точку $O$ – центр описанной окружности.
9. Построим окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$.
10. Точки пересечения окружности $\omega$ с прямой $l_{BC}$ являются вершинами $B$ и $C$.
11. Соединив точки $A, B, C$, получим искомый треугольник $ABC$.

Доказательство

По построенному треугольнику $ABC$:
1. Сторона $BC$ лежит на данной прямой $l_{BC}$ по построению (п. 10).
2. Точка $A_1$ по построению (п. 5) лежит на прямой $AA_1$. По построению (п. 8-10), $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $BC$, проходящем через $A_1$, и $B, C$ – точки пересечения окружности с центром $O$ и прямой $l_{BC}$. Следовательно, $A_1$ – середина хорды $BC$. Значит, $AA_1$ – медиана. Так как $M$ лежит на $AA_1$ и по построению $AM = 2MA_1$, то $M$ – центроид треугольника $ABC$.
3. Прямая, содержащая высоту из вершины $A$, перпендикулярна $l_{BC}$ и проходит через $A$. По построению (п. 3, 4) это прямая $l_A''$, которая также проходит через $K$. Описанная окружность $\omega$ по построению (п. 9) имеет центр $O$ и радиус $OA$. Так как $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AK$ (п. 6, 8), то $OA = OK$. Следовательно, точка $K$ лежит на описанной окружности $\omega$. Таким образом, $K$ – точка пересечения описанной окружности с прямой, содержащей высоту из $A$.
Все условия задачи выполнены.

Исследование

Задача имеет решение, если построение выполнимо на каждом шаге.
1. Вершина $A$ всегда определяется однозначно, так как прямые $l_A'$ и $l_A''$ перпендикулярны и всегда пересекаются в одной точке. Исключением является случай, когда $M \in l_{BC}$, что приведет к вырожденному треугольнику.
2. Точка $A_1$ также всегда определяется однозначно.
3. Центр $O$ определяется однозначно, если серединные перпендикуляры $p_1$ и $p_2$ не параллельны. $p_2 \perp l_{BC}$. Прямая $AK$ (т.е. $l_A''$) перпендикулярна $l_{BC}$. Значит, $p_1 \perp AK$, откуда $p_1 \parallel l_{BC}$. Так как $p_1$ и $p_2$ взаимно перпендикулярны, они всегда пересекаются в единственной точке.
Особый случай: если $A=K$. Это происходит, когда исходная точка $K$ лежит на прямой $l_A'$. В этом случае серединный перпендикуляр к $AK$ не определен. Задача будет иметь бесконечно много решений, так как центр $O$ может быть любой точкой на прямой $p_2$, а радиус будет равен $OA$.
4. Вершины $B$ и $C$ существуют, если окружность $\omega$ пересекает прямую $l_{BC}$. Это произойдет, если радиус окружности $R=OA$ не меньше, чем расстояние от центра $O$ до прямой $l_{BC}$, которое равно $OA_1$.
- Если $OA > OA_1$, то окружность пересекает прямую $l_{BC}$ в двух различных точках $B$ и $C$. Задача имеет единственное решение (с точностью до перестановки B и C).
- Если $OA = OA_1$, то окружность касается прямой $l_{BC}$ в точке $A_1$. Тогда $B=C=A_1$, треугольник вырождается в отрезок $AA_1$.
- Если $OA < OA_1$, окружность не пересекает прямую $l_{BC}$, и задача не имеет решений.
Таким образом, за исключением случая $A=K$, задача имеет не более одного решения.

Ответ: Алгоритм построения треугольника описан в разделе "Построение". Задача, как правило, имеет единственное решение, но может не иметь решений или иметь бесконечно много решений в зависимости от взаимного расположения исходных данных, как указано в разделе "Исследование".