Номер 17.12, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.12. Точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Докажите, что прямые Эйлера треугольников $ABC$, $ABH$, $BCH$ и $CAH$ пересекаются в одной точке.

17.12. Точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Докажите, что прямые Эйлера треугольников $ABC$, $ABH$, $BCH$ и $CAH$ пересекаются в одной точке.

Для доказательства утверждения мы покажем, что все четыре треугольника ($ABC, ABH, BCH, CAH$) имеют общую окружность девяти точек. Центр этой окружности и будет искомой точкой пересечения их прямых Эйлера.

Сначала установим важный факт об ортоцентрах данных треугольников. Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Это значит, что прямые, содержащие высоты, пересекаются в точке $H$, и, следовательно, $AH \perp BC$, $BH \perp AC$, $CH \perp AB$.

Теперь найдем ортоцентр треугольника $ABH$. Его высоты — это перпендикуляры, опущенные из его вершин ($A, B, H$) на противоположные стороны. Высота из вершины $A$ на сторону $BH$ — это прямая $AC$, так как $AC \perp BH$. Высота из вершины $B$ на сторону $AH$ — это прямая $BC$, так как $BC \perp AH$. Высота из вершины $H$ на сторону $AB$ — это прямая $CH$, так как $CH \perp AB$. Эти три высоты пересекаются в точке $C$. Таким образом, ортоцентром треугольника $ABH$ является вершина $C$. Аналогично доказывается, что ортоцентром $\triangle BCH$ является вершина $A$, а ортоцентром $\triangle CAH$ — вершина $B$. Множество точек $\{A, B, C, H\}$ называется ортоцентрической системой, в которой любая точка является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими.

Далее рассмотрим окружность девяти точек (окружность Эйлера). Для любого треугольника она проходит через девять характерных точек: середины трех сторон, основания трех высот и середины трех отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами.

Для $\triangle ABC$ эти девять точек: 1) середины сторон $AB, BC, CA$; 2) основания высот из вершин $A, B, C$; 3) середины отрезков $AH, BH, CH$.

Для $\triangle ABH$ (с ортоцентром $C$) эти девять точек: 1) середины сторон $AB, BH, HA$ (эти точки являются серединой стороны $AB$ и серединами отрезков $BH, AH$ для $\triangle ABC$); 2) основания высот из вершин $A, B, H$ (это основания перпендикуляров из $A$ к $BH$, из $B$ к $AH$ и из $H$ к $AB$, что совпадает с основаниями высот $\triangle ABC$); 3) середины отрезков, соединяющих ортоцентр $C$ с вершинами $A, B, H$, то есть середины отрезков $CA, CB, CH$ (эти точки являются серединами сторон $AC, BC$ и отрезка $CH$ для $\triangle ABC$).

Сравнив эти два набора точек, мы видим, что они полностью совпадают. Таким образом, окружность девяти точек у треугольников $ABC$ и $ABH$ одна и та же. В силу симметрии ортоцентрической системы $\{A, B, C, H\}$, все четыре треугольника — $ABC, ABH, BCH$ и $CAH$ — имеют общую окружность девяти точек.

Прямая Эйлера любого треугольника проходит через его ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности девяти точек. Обозначим центр общей окружности девяти точек через $N$. Так как эта окружность является окружностью девяти точек для каждого из четырех треугольников, то прямая Эйлера каждого из них проходит через точку $N$. Следовательно, все четыре прямые Эйлера пересекаются в точке $N$.

Ответ: Прямые Эйлера треугольников $ABC, ABH, BCH$ и $CAH$ пересекаются в одной точке — центре их общей окружности девяти точек.