Номер 17.11, страница 131 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.11. Точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Докажите, что треугольники $ABC$, $ABH$, $BCH$ и $CAH$ имеют одну и ту же окружность девяти точек.

17.11. Точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Докажите, что треугольники $ABC$, $ABH$, $BCH$ и $CAH$ имеют одну и ту же окружность девяти точек.

Докажем, что все четыре треугольника — $ABC$, $ABH$, $BCH$ и $CAH$ — имеют одну и ту же окружность девяти точек. Для этого мы покажем, что набор из девяти точек, определяющих эту окружность, является общим для всех четырех треугольников.

1. Окружность девяти точек для $\triangle ABC$

Пусть $H$ — ортоцентр $\triangle ABC$. Пусть $A_1, B_1, C_1$ — основания высот, опущенных из вершин $A, B, C$ на стороны $BC, AC, AB$ соответственно. Пусть $A_2, B_2, C_2$ — середины сторон $BC, AC, AB$ соответственно. Пусть $A_3, B_3, C_3$ — середины отрезков $AH, BH, CH$ соответственно.

По определению, окружность девяти точек $\triangle ABC$ проходит через эти девять точек:

• Основания высот: $A_1, B_1, C_1$.
• Середины сторон: $A_2, B_2, C_2$.
• Середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами (точки Эйлера): $A_3, B_3, C_3$.

Таким образом, окружность девяти точек для $\triangle ABC$ однозначно определяется множеством точек $\{A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2, A_3, B_3, C_3\}$.

2. Окружность девяти точек для $\triangle ABH$

Теперь рассмотрим $\triangle ABH$. Сначала найдем его ортоцентр.

• Высота из вершины $H$ на сторону $AB$ лежит на прямой $HC$. Так как $H$ — ортоцентр $\triangle ABC$, то $CH \perp AB$.
• Высота из вершины $A$ на сторону $BH$ должна быть перпендикулярна прямой $BH$. Так как $BH$ — часть высоты $\triangle ABC$, то $BH \perp AC$. Следовательно, высота из $A$ в $\triangle ABH$ лежит на прямой $AC$.
• Высота из вершины $B$ на сторону $AH$ должна быть перпендикулярна прямой $AH$. Так как $AH$ — часть высоты $\triangle ABC$, то $AH \perp BC$. Следовательно, высота из $B$ в $\triangle ABH$ лежит на прямой $BC$.

Три высоты $\triangle ABH$ (или прямые, их содержащие) пересекаются в точке $C$. Таким образом, точка $C$ является ортоцентром $\triangle ABH$.

Теперь найдем девять точек, определяющих окружность девяти точек для $\triangle ABH$.

• Основания высот $\triangle ABH$:
  • Высота из $H$ на $AB$ имеет основание $C_1$.
  • Высота из $A$ на $BH$ (прямая $AC$) имеет основание $B_1$ (так как $AC \perp BH$).
  • Высота из $B$ на $AH$ (прямая $BC$) имеет основание $A_1$ (так как $BC \perp AH$).

  Это точки $\{A_1, B_1, C_1\}$.

• Середины сторон $\triangle ABH$:

  • Середина $AB$ — это точка $C_2$.
  • Середина $AH$ — это точка $A_3$.
  • Середина $BH$ — это точка $B_3$.
  Это точки $\{C_2, A_3, B_3\}$.
• Середины отрезков от вершин до ортоцентра $\triangle ABH$ (ортоцентр — $C$):
  • Середина отрезка $AC$ — это точка $B_2$.
  • Середина отрезка $BC$ — это точка $A_2$.
  • Середина отрезка $HC$ — это точка $C_3$.
  Это точки $\{A_2, B_2, C_3\}$.

Объединив все найденные точки для $\triangle ABH$, мы получаем то же самое множество: $\{A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2, A_3, B_3, C_3\}$. Следовательно, окружность девяти точек для $\triangle ABH$ совпадает с окружностью девяти точек для $\triangle ABC$.

3. Симметрия и вывод

Набор из четырех точек $\{A, B, C, H\}$ называется ортоцентрической системой. В такой системе любая из четырех точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками.

• $H$ — ортоцентр $\triangle ABC$.
• $C$ — ортоцентр $\triangle ABH$.
• $B$ — ортоцентр $\triangle ACH$.
• $A$ — ортоцентр $\triangle BCH$.

В силу этой симметрии, рассуждения, аналогичные проведенным для $\triangle ABH$, применимы и к треугольникам $BCH$ и $CAH$. Для каждого из них набор из девяти характерных точек будет тем же самым, что и для $\triangle ABC$.

Таким образом, все четыре треугольника имеют одну и ту же окружность девяти точек.

Ответ: Доказано, что треугольники $ABC, ABH, BCH$ и $CAH$ имеют одну и ту же окружность девяти точек, так как множество из девяти точек, определяющих эту окружность, является общим для всех четырех треугольников.