Номер 18.2, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.2. В треугольнике $ABC$ $AB = 21$ см, $AC = 42$ см, $BC = 28$ см. На продолжениях отрезков $AB$ и $BC$ за точку $B$ отложены соответственно отрезки $BM$ и $BK$, $BM = 8$ см, $BK = 6$ см (рис. 18.7). Найдите отрезок $KM$.

Рис. 18.7

18.2. В треугольнике $ABC$ $AB = 21$ см, $AC = 42$ см, $BC = 28$ см. На продолжениях отрезков $AB$ и $BC$ за точку $B$ отложены соответственно отрезки $BM$ и $BK$, $BM = 8$ см, $BK = 6$ см (рис. 18.7). Найдите отрезок $KM$.

Рис. 18.7

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $KBM$. Углы $\angle ABC$ и $\angle KBM$ являются вертикальными, так как по условию точка $M$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$, а точка $K$ — на продолжении отрезка $CB$ за точку $B$. Следовательно, эти углы равны: $\angle ABC = \angle KBM$.

Проверим пропорциональность сторон, образующих эти равные углы. Найдем отношения сторон треугольника $ABC$ к сторонам треугольника $KBM$.

Найдем отношение стороны $AB$ к стороне $BK$ и стороны $BC$ к стороне $BM$:
$\frac{AB}{BK} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$
$\frac{BC}{BM} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$

Так как отношения сторон равны ($\frac{AB}{BK} = \frac{BC}{BM}$) и углы, заключенные между этими сторонами, также равны ($\angle ABC = \angle KBM$), то треугольники $ABC$ и $KBM$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). При этом вершине $A$ соответствует вершина $K$, вершине $C$ — вершина $M$. Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle KBM$.

Из подобия треугольников следует, что отношение третьих сторон ($AC$ и $KM$) равно коэффициенту подобия $k = \frac{7}{2}$:
$\frac{AC}{KM} = k = \frac{7}{2}$

Подставим известное значение длины стороны $AC = 42$ см в это соотношение, чтобы найти длину отрезка $KM$:
$\frac{42}{KM} = \frac{7}{2}$
Выразим $KM$ из пропорции:
$KM = \frac{42 \times 2}{7} = 6 \times 2 = 12$ см.

Ответ: 12 см.