Номер 18.4, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.4. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $CM = 15$ см, $CK = 12$ см. Найдите отрезок $MK$, если $AC = 20$ см, $BC = 25$ см, $AB = 30$ см.

18.4. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $CM = 15$ см, $CK = 12$ см. Найдите отрезок $MK$, если $AC = 20$ см, $BC = 25$ см, $AB = 30$ см.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MCK$.

По условию задачи даны длины сторон:

• $AC = 20$ см
• $BC = 25$ см
• $AB = 30$ см
• $CM = 15$ см
• $CK = 12$ см

Сравним отношения сторон треугольников $ABC$ и $MCK$, которые прилегают к общему углу $C$.

Найдем отношение стороны $CM$ к стороне $BC$ и стороны $CK$ к стороне $AC$:

$\frac{CM}{BC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

$\frac{CK}{AC} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

Так как отношения сторон равны ($\frac{CM}{BC} = \frac{CK}{AC}$), а угол $C$ является общим для обоих треугольников, то треугольники $MCK$ и $BCA$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует, что отношение всех их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$. В данном случае $k = \frac{3}{5}$.

$\frac{MK}{AB} = \frac{CM}{BC} = \frac{CK}{AC} = \frac{3}{5}$

Чтобы найти длину отрезка $MK$, воспользуемся пропорцией:

$\frac{MK}{AB} = \frac{3}{5}$

Подставим известную длину стороны $AB = 30$ см:

$\frac{MK}{30} = \frac{3}{5}$

Выразим $MK$:

$MK = 30 \cdot \frac{3}{5} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

Ответ: 18 см.