Номер 18.11, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.11. Из деревянных палочек изготовили три подобных разносторонних треугольника. В каждом из них большую сторону покрасили в синий цвет, а меньшую — в жёлтый. Из синих палочек составили один треугольник, а из жёлтых — другой. Будут ли эти треугольники подобны?

18.11. Из деревянных палочек изготовили три подобных разносторонних треугольника. В каждом из них большую сторону покрасили в синий цвет, а меньшую — в жёлтый. Из синих палочек составили один треугольник, а из жёлтых — другой. Будут ли эти треугольники подобны?

Да, эти треугольники будут подобны.

Для доказательства введём обозначения. Пусть стороны одного из трёх исходных разносторонних треугольников равны $a, b, c$. Так как по условию треугольник разносторонний, все его стороны имеют разную длину. Упорядочим их по возрастанию: $a < b < c$.

Согласно условию, меньшая сторона каждого треугольника окрашена в жёлтый цвет, а большая — в синий. Таким образом, для этого треугольника сторона $a$ — жёлтая, а сторона $c$ — синяя.

Два других треугольника подобны первому. Обозначим их коэффициенты подобия как $k_1$ и $k_2$ (где $k_1 > 0$ и $k_2 > 0$).

Стороны второго треугольника равны $k_1a, k_1b, k_1c$. Так как $a < b < c$, то и $k_1a < k_1b < k_1c$. Следовательно, его жёлтая сторона имеет длину $k_1a$, а синяя — $k_1c$.

Аналогично, стороны третьего треугольника равны $k_2a, k_2b, k_2c$. Его жёлтая сторона — $k_2a$, а синяя — $k_2c$.

Теперь рассмотрим два новых треугольника, которые составили из окрашенных палочек.

• Треугольник, составленный из синих палочек, имеет стороны с длинами: $c, k_1c, k_2c$.
• Треугольник, составленный из жёлтых палочек, имеет стороны с длинами: $a, k_1a, k_2a$.

Чтобы определить, подобны ли эти два новых треугольника, нужно проверить, пропорциональны ли их соответственные стороны. Для этого найдём отношения длин сторон "синего" треугольника к соответственным сторонам "жёлтого" треугольника:

$\frac{c}{a}$ (отношение первых сторон)
$\frac{k_1c}{k_1a} = \frac{c}{a}$ (отношение вторых сторон)
$\frac{k_2c}{k_2a} = \frac{c}{a}$ (отношение третьих сторон)

Все три отношения равны между собой. Это означает, что стороны треугольника из синих палочек пропорциональны сторонам треугольника из жёлтых палочек. Коэффициент пропорциональности (подобия) равен $k = \frac{c}{a}$.

По третьему признаку подобия треугольников (по трём пропорциональным сторонам), эти два треугольника подобны.

Ответ: Да, эти треугольники будут подобны.