Номер 18.16, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.16. Окружность, построенная на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, проходит через середину M стороны AB и пересекает сторону BC в точке N так, что $BN : NC = 2 : 7$. Найдите отрезок MN, если $AC = 6$ см.

18.16. Окружность, построенная на стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре, проходит через середину $M$ стороны $AB$ и пересекает сторону $BC$ в точке $N$ так, что $BN : NC = 2 : 7$. Найдите отрезок $MN$, если $AC = 6$ см.

Пусть дана окружность с диаметром $AC$. Так как точки $M$ и $N$ лежат на этой окружности, то углы, опирающиеся на диаметр, являются прямыми. Следовательно, $\angle AMC = 90^\circ$ и $\angle ANC = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Из условия известно, что $M$ – середина стороны $AB$. Отрезок $CM$ соединяет вершину $C$ с серединой противоположной стороны, значит $CM$ – медиана. Так как $\angle AMC = 90^\circ$, то $CM$ также является высотой треугольника $ABC$. Если в треугольнике медиана является высотой, то этот треугольник равнобедренный. Таким образом, треугольник $ABC$ – равнобедренный с основанием $AB$, и, следовательно, $AC = BC$.

По условию $AC = 6$ см, значит $BC = 6$ см.

Точка $N$ лежит на стороне $BC$ и делит ее в отношении $BN : NC = 2 : 7$. Найдем длины отрезков $BN$ и $NC$:
Вся сторона $BC$ состоит из $2+7=9$ частей.
$BN = \frac{2}{9} BC = \frac{2}{9} \cdot 6 = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ см.
$NC = \frac{7}{9} BC = \frac{7}{9} \cdot 6 = \frac{42}{9} = \frac{14}{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ANC$ (поскольку $\angle ANC = 90^\circ$). По теореме Пифагора $AC^2 = AN^2 + NC^2$. Выразим отсюда $AN^2$:
$AN^2 = AC^2 - NC^2 = 6^2 - (\frac{14}{3})^2 = 36 - \frac{196}{9} = \frac{324 - 196}{9} = \frac{128}{9}$.

Так как $AN$ является высотой в треугольнике $ABC$, проведенной к стороне $BC$, то треугольник $ANB$ также является прямоугольным ($\angle ANB = 90^\circ$). По теореме Пифагора для треугольника $ANB$:
$AB^2 = AN^2 + BN^2 = \frac{128}{9} + (\frac{4}{3})^2 = \frac{128}{9} + \frac{16}{9} = \frac{144}{9} = 16$.
Отсюда $AB = \sqrt{16} = 4$ см.

По условию $M$ – середина $AB$, значит $BM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $MBN$. Мы знаем длины двух его сторон $BM = 2$ см и $BN = \frac{4}{3}$ см. Чтобы найти длину третьей стороны $MN$, воспользуемся теоремой косинусов. Для этого найдем косинус угла $\angle B$. Из прямоугольного треугольника $ANB$ имеем:
$\cos(\angle B) = \frac{BN}{AB} = \frac{4/3}{4} = \frac{1}{3}$.

Применим теорему косинусов для треугольника $MBN$:
$MN^2 = BM^2 + BN^2 - 2 \cdot BM \cdot BN \cdot \cos(\angle B)$
$MN^2 = 2^2 + (\frac{4}{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3}$
$MN^2 = 4 + \frac{16}{9} - \frac{16}{9}$
$MN^2 = 4$
$MN = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.