Номер 18.13, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.13. В треугольнике $ABC$ $AC = A$, $AB = BC = b$, отрезки $AM$ и $CK$ — биссектрисы треугольника. Найдите отрезок $MK$.

18.13. В треугольнике $ABC$ $AC = A$, $AB = BC = b$, отрезки $AM$ и $CK$ — биссектрисы треугольника. Найдите отрезок $MK$.

В треугольнике $ABC$ даны стороны $AC = A$, $AB = BC = b$. Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

$AM$ – биссектриса угла $A$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону $BC$ в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон:

$\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} = \frac{b}{A}$

Зная, что $BM + MC = BC = b$, мы можем составить систему уравнений. Из пропорции выразим $BM$: $BM = \frac{b}{A} \cdot MC$. Подставим во второе уравнение:

$\frac{b}{A} \cdot MC + MC = b$

$MC \cdot (\frac{b}{A} + 1) = b$

$MC \cdot \frac{b+A}{A} = b$

Отсюда находим $MC = \frac{Ab}{A+b}$.

Тогда $BM = b - MC = b - \frac{Ab}{A+b} = \frac{b(A+b) - Ab}{A+b} = \frac{Ab + b^2 - Ab}{A+b} = \frac{b^2}{A+b}$.

$CK$ – биссектриса угла $C$. Аналогично, по свойству биссектрисы:

$\frac{AK}{KB} = \frac{AC}{BC} = \frac{A}{b}$

Так как $AK + KB = AB = b$, выразим $AK$: $AK = \frac{A}{b} \cdot KB$. Подставим в сумму:

$\frac{A}{b} \cdot KB + KB = b$

$KB \cdot (\frac{A}{b} + 1) = b$

$KB \cdot \frac{A+b}{b} = b$

Отсюда находим $KB = \frac{b^2}{A+b}$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $KBM$. У них есть общий угол $B$. Найдем отношение сторон, образующих этот угол:

$\frac{KB}{AB} = \frac{b^2/(A+b)}{b} = \frac{b}{A+b}$

$\frac{BM}{BC} = \frac{b^2/(A+b)}{b} = \frac{b}{A+b}$

Поскольку $\frac{KB}{AB} = \frac{BM}{BC}$ и угол $B$ у треугольников $ABC$ и $KBM$ общий, то эти треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует, что отношение их третьих сторон равно коэффициенту подобия:

$\frac{MK}{AC} = \frac{b}{A+b}$

Подставляя известное значение $AC = A$, находим длину отрезка $MK$:

$MK = AC \cdot \frac{b}{A+b} = A \cdot \frac{b}{A+b} = \frac{Ab}{A+b}$

Ответ: $\frac{Ab}{A+b}$