Номер 18.9, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.9. Докажите, что в подобных треугольниках медианы, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

18.9. Докажите, что в подобных треугольниках медианы, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Пусть даны два подобных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, то есть $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Из условия подобия следует, что их соответственные углы равны, а отношения длин соответственных сторон равны некоторому числу $k$, которое называется коэффициентом подобия:
$\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Проведём в этих треугольниках медианы $BM$ и $B_1M_1$ из вершин соответственных углов $B$ и $B_1$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, а точка $M_1$ — серединой стороны $A_1C_1$.
Следовательно, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Найдём отношение длин отрезков $AM$ и $A_1M_1$:
$\frac{AM}{A_1M_1} = \frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}A_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$
Так как из подобия исходных треугольников $\frac{AC}{A_1C_1} = k$, то и $\frac{AM}{A_1M_1} = k$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. У них:
1. $\angle A = \angle A_1$ (как соответственные углы в подобных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).
2. $\frac{AB}{A_1B_1} = k$ и $\frac{AM}{A_1M_1} = k$, следовательно, $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AM}{A_1M_1}$.

Поскольку две стороны одного треугольника ($\triangle ABM$) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($\triangle A_1B_1M_1$), а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то эти треугольники подобны по второму признаку подобия (SAS):
$\triangle ABM \sim \triangle A_1B_1M_1$.

Из подобия треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует, что отношение их соответственных сторон равно коэффициенту подобия $k$. Значит, отношение их третьих сторон (медиан) также равно $k$:
$\frac{BM}{B_1M_1} = k$.

Таким образом, мы доказали, что отношение медиан, проведённых из вершин соответственных углов, равно отношению соответственных сторон исходных треугольников:
$\frac{BM}{B_1M_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В подобных треугольниках отношение медиан, проведённых из вершин соответственных углов, равно отношению соответственных сторон (то есть коэффициенту подобия).