Номер 18.7, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.7. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $\angle A = \angle A_1$, каждая из сторон $AB$ и $AC$ составляет $0,6$ сторон $A_1B_1$ и $A_1C_1$ соответственно. Найдите стороны $BC$ и $B_1C_1$, если их сумма равна $48$ см.

18.7. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $\angle A = \angle A_1$, каждая из сторон $AB$ и $AC$ составляла $0,6$ сторон $A_1B_1$ и $A_1C_1$ соответственно. Найдите стороны $BC$ и $B_1C_1$, если их сумма равна $48$ см.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

По условию задачи дано:

1. $\angle A = \angle A_1$

2. $AB = 0.6 \cdot A_1B_1$

3. $AC = 0.6 \cdot A_1C_1$

4. $BC + B_1C_1 = 48$ см

Из второго и третьего условий следует, что стороны треугольников пропорциональны:

$\frac{AB}{A_1B_1} = 0.6$ и $\frac{AC}{A_1C_1} = 0.6$

Таким образом, $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Поскольку две стороны одного треугольника ($AB$ и $AC$) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($A_1B_1$ и $A_1C_1$), а углы, заключенные между этими сторонами, равны ($\angle A = \angle A_1$), то по второму признаку подобия треугольников, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон:

$k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = 0.6$

В подобных треугольниках отношение всех соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Следовательно, для сторон $BC$ и $B_1C_1$ также выполняется соотношение:

$\frac{BC}{B_1C_1} = k = 0.6$

Из этого соотношения выразим сторону $BC$:

$BC = 0.6 \cdot B_1C_1$

Теперь мы можем составить систему уравнений, используя это выражение и данное в условии равенство $BC + B_1C_1 = 48$:

$BC = 0.6 \cdot B_1C_1$

$BC + B_1C_1 = 48$

Подставим первое уравнение во второе:

$(0.6 \cdot B_1C_1) + B_1C_1 = 48$

$1.6 \cdot B_1C_1 = 48$

Теперь найдем длину стороны $B_1C_1$:

$B_1C_1 = \frac{48}{1.6} = \frac{480}{16} = 30$ см.

Зная длину $B_1C_1$, найдем длину стороны $BC$:

$BC = 0.6 \cdot B_1C_1 = 0.6 \cdot 30 = 18$ см.

Проверим полученные значения: $BC + B_1C_1 = 18 + 30 = 48$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: $BC = 18$ см, $B_1C_1 = 30$ см.