Номер 18.23, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.23. На медиане $BM$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$ так, что $\angle MKC = \angle BCM$. Докажите, что $\angle AKM = \angle BAM$.

18.23. На медиане $BM$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$ так, что $\angle MKC = \angle BCM$. Докажите, что $\angle AKM = \angle BAM$.

Для доказательства равенства углов $\angle AKM = \angle BAM$ мы используем свойства углов, связанных с окружностями, и подобие треугольников.

Шаг 1: Нахождение эквивалентного углового соотношения

Рассмотрим треугольники $\Delta BMC$ и $\Delta KMC$.

В треугольнике $\Delta BMC$ сумма углов равна $180^\circ$:

$\angle CBM + \angle BCM + \angle BMC = 180^\circ$

В треугольнике $\Delta KMC$ сумма углов также равна $180^\circ$:

$\angle KCM + \angle MKC + \angle KMC = 180^\circ$

По условию задачи, $\angle MKC = \angle BCM$. Также, поскольку точка $K$ лежит на отрезке $BM$, углы $\angle KMC$ и $\angle BMC$ совпадают: $\angle KMC = \angle BMC$.

Приравнивая выражения для суммы углов и сокращая равные углы ($\angle BCM = \angle MKC$ и $\angle BMC = \angle KMC$), получаем:

$\angle CBM + \angle BCM + \angle BMC = \angle KCM + \angle MKC + \angle KMC$

$\angle CBM = \angle KCM$

Таким образом, мы показали, что исходное условие $\angle MKC = \angle BCM$ эквивалентно условию $\angle KCM = \angle CBM$.

Шаг 2: Применение теоремы об угле между касательной и хордой

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника $\Delta BKC$. Назовем ее $\omega$.

Угол $\angle CBM$ (или $\angle CBK$) является вписанным углом в окружность $\omega$, опирающимся на хорду $CK$.

Угол $\angle KCM$ (или $\angle KCA$) — это угол между хордой $CK$ и прямой $AC$.

Поскольку мы доказали, что $\angle KCM = \angle CBM$, то по обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая $AC$ является касательной к окружности $\omega$ в точке $C$.

Шаг 3: Применение теоремы о касательной и секущей

Теперь рассмотрим точку $M$, лежащую на касательной $AC$, и секущую, проходящую через точку $M$ и пересекающую окружность $\omega$ в точках $K$ и $B$.

По теореме о касательной и секущей (или о степени точки относительно окружности), квадрат длины отрезка касательной от точки $M$ до точки касания $C$ равен произведению длин отрезков секущей от точки $M$ до точек пересечения с окружностью:

$MC^2 = MK \cdot MB$

Шаг 4: Использование свойства медианы и доказательство подобия треугольников

По условию, $BM$ — медиана треугольника $ABC$, следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Это означает, что $AM = MC$.

Заменим $MC$ на $AM$ в полученном ранее равенстве:

$AM^2 = MK \cdot MB$

Перепишем это равенство в виде пропорции:

$\frac{AM}{MK} = \frac{MB}{AM}$

Теперь рассмотрим треугольники $\Delta KMA$ и $\Delta AMB$.

1. Угол $\angle AMB$ является общим для обоих треугольников ($\angle KMA = \angle AMB$).
2. Соотношение сторон, прилежащих к этому углу, как мы показали выше, равно: $\frac{AM}{MK} = \frac{MB}{AM}$.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольники $\Delta KMA$ и $\Delta AMB$ подобны:

$\Delta KMA \sim \Delta AMB$

Шаг 5: Завершение доказательства

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов. Углу $\angle MAB$ в треугольнике $\Delta AMB$ соответствует угол $\angle MKA$ в треугольнике $\Delta KMA$.

$\angle MKA = \angle MAB$

Угол $\angle MKA$ — это то же самое, что и угол $\angle AKM$. Угол $\angle MAB$ — это то же самое, что и угол $\angle BAM$.

Таким образом, мы доказали, что $\angle AKM = \angle BAM$.

Ответ: Доказано, что $\angle AKM = \angle BAM$.