Номер 19.4, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.4. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна 48 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 36 см. Найдите стороны данного треугольника.

19.4. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна 48 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 36 см. Найдите стороны данного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$.

По условию задачи, высота $CH = 48$ см, а проекция одного из катетов на гипотенузу равна 36 см. Пусть проекцией катета $AC$ на гипотенузу $AB$ является отрезок $AH$. Таким образом, $AH = 36$ см. Для нахождения сторон треугольника воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

1. Найдем длину второго отрезка гипотенузы, $BH$, который является проекцией катета $BC$. Высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным (средним геометрическим) между проекциями катетов на гипотенузу. Используем формулу:
$CH^2 = AH \cdot BH$
Подставим известные значения:
$48^2 = 36 \cdot BH$
$2304 = 36 \cdot BH$
$BH = \frac{2304}{36} = 64$ см.

2. Найдем длину гипотенузы $AB$. Гипотенуза равна сумме длин проекций катетов.
$AB = AH + BH$
$AB = 36 + 64 = 100$ см.

3. Найдем длины катетов $AC$ и $BC$. Для этого рассмотрим два прямоугольных треугольника ($\triangle AHC$ и $\triangle BHC$), образованных высотой.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ по теореме Пифагора:
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
$AC^2 = 36^2 + 48^2 = 1296 + 2304 = 3600$
$AC = \sqrt{3600} = 60$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BHC$ по теореме Пифагора:
$BC^2 = BH^2 + CH^2$
$BC^2 = 64^2 + 48^2 = 4096 + 2304 = 6400$
$BC = \sqrt{6400} = 80$ см.

Таким образом, стороны данного треугольника — это катеты 60 см и 80 см, и гипотенуза 100 см.

Ответ: стороны треугольника равны 60 см, 80 см и 100 см.