Номер 19.10, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.10. Найдите периметр равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

19.10. Найдите периметр равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. Согласно условию, $AD = 25$ см, $BC = 7$ см. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Обозначим их длину как $c$.
По условию, диагонали перпендикулярны боковым сторонам, что означает $AC \perp CD$. Следовательно, треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине C ($\angle ACD = 90^\circ$), а его гипотенузой является большее основание трапеции $AD$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции длина отрезка $HD$, который является проекцией боковой стороны $CD$ на большее основание, вычисляется как полуразность длин оснований:
$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.
В прямоугольном треугольнике $ACD$ для катета $CD$ справедливо метрическое соотношение: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
$CD^2 = AD \cdot HD$
Подставим известные значения:
$c^2 = 25 \cdot 9 = 225$
Отсюда находим длину боковой стороны:
$c = \sqrt{225} = 15$ см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:
$P = AB + BC + CD + AD$
Подставляя длины сторон, получаем:
$P = 15 + 7 + 15 + 25 = 62$ см.

Ответ: 62 см.