Номер 19.13, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.13. Найдите высоту равнобокой трапеции, если её диагональ перпендикулярна боковой стороне, а разность квадратов оснований равна 25.

19.13. Найдите высоту равнобокой трапеции, если её диагональ перпендикулярна боковой стороне, а разность квадратов оснований равна 25.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD > BC$. Обозначим длины оснований как $AD = a$ и $BC = b$, а высоту трапеции как $h$.

Из условий задачи известно, что диагональ трапеции перпендикулярна её боковой стороне. Пусть диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$. Это означает, что треугольник $ACD$ является прямоугольным, где $\angle ACD = 90^\circ$, а $AD$ — гипотенуза.

Также дано, что разность квадратов оснований равна 25:$a^2 - b^2 = 25$

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Длина $CH$ равна высоте трапеции $h$. В прямоугольном треугольнике $ACD$ отрезок $CH$ является высотой, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, справедливо соотношение: квадрат высоты равен произведению длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу. То есть:$h^2 = AH \cdot HD$

В равнобокой трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований. В нашем случае, отрезок $HD$ является проекцией стороны $CD$ на основание $AD$. Следовательно:$HD = \frac{a - b}{2}$

Длину второго отрезка $AH$ можно найти как разность длины основания $AD$ и отрезка $HD$:$AH = AD - HD = a - \frac{a - b}{2} = \frac{2a - (a - b)}{2} = \frac{2a - a + b}{2} = \frac{a + b}{2}$

Теперь подставим полученные выражения для $AH$ и $HD$ в формулу для квадрата высоты:$h^2 = \left(\frac{a + b}{2}\right) \cdot \left(\frac{a - b}{2}\right)$

Упростим правую часть уравнения:$h^2 = \frac{(a + b)(a - b)}{4}$

Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, получаем:$h^2 = \frac{a^2 - b^2}{4}$

Подставим в это уравнение известное из условия значение $a^2 - b^2 = 25$:$h^2 = \frac{25}{4}$

Найдём высоту $h$, извлекая квадратный корень:$h = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $2.5$