Номер 19.16, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.16. Диагонали прямоугольной трапеции перпендикулярны, точка пересечения делит большую из них на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите меньшую диагональ трапеции.

19.16. Диагонали прямоугольной трапеции перпендикулярны, точка пересечения делит большую из них на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите меньшую диагональ трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD > BC$), а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, то есть $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и перпендикулярны друг другу, то есть $AC \perp BD$.

Сравним длины диагоналей. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ABC$ (прямые углы при вершине $A$ и $B$ соответственно). По теореме Пифагора:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Поскольку $AD > BC$, то $AD^2 > BC^2$, и, следовательно, $BD^2 > AC^2$, что означает $BD > AC$. Таким образом, большей диагональю является $BD$.

По условию, точка пересечения $O$ делит большую диагональ $BD$ на отрезки длиной 4 см и 9 см. То есть, отрезки $BO$ и $OD$ равны 4 см и 9 см.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. Они подобны по двум углам: $\angle AOD = \angle COB = 90^\circ$ (вертикальные углы, образованные перпендикулярными диагоналями), а $\angle ODA = \angle OBC$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$\frac{AO}{CO} = \frac{OD}{BO} = \frac{AD}{BC}$

Так как $AD > BC$, то $OD > BO$. Следовательно, $OD = 9$ см и $BO = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$ (поскольку $\angle A = 90^\circ$). В этом треугольнике диагональ $AC$ пересекает гипотенузу $BD$ в точке $O$. Так как $AC \perp BD$, отрезок $AO$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла $A$ к гипотенузе $BD$.

Для высоты в прямоугольном треугольнике, проведенной к гипотенузе, справедливо свойство: квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть:

$AO^2 = BO \cdot OD$

Подставим известные значения:

$AO^2 = 4 \cdot 9 = 36$

$AO = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь найдем длину второго отрезка меньшей диагонали, $OC$, используя ранее полученное соотношение из подобия треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle COB$:

$\frac{AO}{CO} = \frac{OD}{BO}$

$\frac{6}{CO} = \frac{9}{4}$

Отсюда находим $CO$:

$CO = \frac{6 \cdot 4}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$ см.

Меньшая диагональ $AC$ равна сумме длин ее отрезков $AO$ и $OC$:

$AC = AO + CO = 6 + \frac{8}{3} = \frac{18}{3} + \frac{8}{3} = \frac{26}{3}$ см.

Ответ: $\frac{26}{3}$ см.