Номер 19.22, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.22. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр трапеции.

19.22. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. Пусть $AB$ — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям $BC$ и $AD$, а $CD$ — большая боковая сторона.

По свойству описанного четырехугольника, суммы длин его противолежащих сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Периметр такого четырехугольника равен $P = 2(AB + CD)$ или $P = 2(BC + AD)$.

Пусть $K$ — точка касания окружности со стороной $CD$. По условию, она делит сторону $CD$ на отрезки длиной 8 см и 50 см. Пусть $CK = 8$ см и $KD = 50$ см. Тогда длина большей боковой стороны $CD = CK + KD = 8 + 50 = 58$ см.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Обозначим точки касания на сторонах $BC$ и $AD$ как $N$ и $L$ соответственно. Тогда $CN = CK = 8$ см, а $DL = DK = 50$ см.

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Так как трапеция прямоугольная, ее высота $AB$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $AB = 2r$. Также отрезки касательных от вершин прямых углов ($A$ и $B$) равны радиусу: $BN = r$ и $AL = r$.

Теперь мы можем выразить длины оснований через радиус $r$:
Верхнее основание $BC = BN + NC = r + 8$ см.
Нижнее основание $AD = AL + DL = r + 50$ см.

Для нахождения радиуса проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В полученном прямоугольном треугольнике $CHD$ гипотенуза $CD=58$ см. Катет $CH$ равен высоте трапеции $AB$, то есть $CH = 2r$. Второй катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = (r + 50) - (r + 8) = 42$ см.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $CHD$: $CH^2 + HD^2 = CD^2$.
$(2r)^2 + 42^2 = 58^2$
$4r^2 + 1764 = 3364$
$4r^2 = 3364 - 1764$
$4r^2 = 1600$
$r^2 = 400$
$r = 20$ см.

Теперь, зная радиус, найдем длины всех сторон трапеции:
$AB = 2r = 2 \cdot 20 = 40$ см.
$CD = 58$ см.
$BC = r + 8 = 20 + 8 = 28$ см.
$AD = r + 50 = 20 + 50 = 70$ см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:
$P = AB + BC + CD + AD = 40 + 28 + 58 + 70 = 196$ см.
Проверим с помощью свойства описанного четырехугольника:
$P = 2(AB + CD) = 2(40 + 58) = 2 \cdot 98 = 196$ см.

Ответ: 196 см.