Номер 19.17, страница 144 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.17. Даны два отрезка, длины которых равны $a$ и $b$. Постройте отрезок длиной $\sqrt{\frac{ab}{2}}$.

19.17. Даны два отрезка, длины которых равны $a$ и $b$. Постройте отрезок длиной $\sqrt{\frac{ab}{2}}$.

Для построения отрезка длиной $\sqrt{\frac{ab}{2}}$ необходимо выполнить два основных этапа. Сначала построим отрезок, равный $\frac{b}{2}$, а затем найдем среднее геометрическое отрезков с длинами $a$ и $\frac{b}{2}$. Длина искомого отрезка $x$ может быть представлена как $x = \sqrt{a \cdot \frac{b}{2}}$, что и является определением среднего геометрического для длин $a$ и $\frac{b}{2}$.

Этот этап заключается в делении данного отрезка длиной $b$ пополам.

1. Возьмем данный отрезок длиной $b$. Обозначим его концы как $P$ и $Q$.
2. С помощью циркуля построим две пересекающиеся дуги окружностей с одинаковым радиусом (большим, чем половина длины отрезка $PQ$), центры которых находятся в точках $P$ и $Q$.
3. Через две точки пересечения этих дуг проведем прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $PQ$.
4. Точка $M$, в которой серединный перпендикуляр пересекает отрезок $PQ$, является его серединой. Отрезок $PM$ (или $MQ$) имеет искомую длину $\frac{b}{2}$.

Этот этап заключается в построении среднего геометрического для отрезков с длинами $a$ и $\frac{b}{2}$.

1. Проведем произвольную прямую $l$.
2. Отметим на ней точку $A$.
3. С помощью циркуля отложим от точки $A$ на прямой $l$ отрезок $AB$ длиной $a$.
4. От точки $B$ на прямой $l$ в том же направлении отложим отрезок $BC$ длиной $\frac{b}{2}$ (построенный на первом этапе).
5. Теперь необходимо найти середину отрезка $AC$. Для этого построим его серединный перпендикуляр. Точку середины обозначим $O$.
6. С центром в точке $O$ и радиусом $OA$ (или $OC$) построим полуокружность, расположенную с одной стороны от прямой $l$.
7. В точке $B$ восстановим перпендикуляр к прямой $l$.
8. Точку пересечения этого перпендикуляра с полуокружностью обозначим как $D$.
9. Отрезок $BD$ является искомым отрезком.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как точка $D$ лежит на окружности, диаметром которой является отрезок $AC$, то угол $\angle ADC$ равен $90^\circ$ (как вписанный угол, опирающийся на диаметр). Таким образом, треугольник $\triangle ADC$ является прямоугольным.

Отрезок $BD$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла $D$ к гипотенузе $AC$. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть, $BD^2 = AB \cdot BC$.

По нашему построению, $AB = a$ и $BC = \frac{b}{2}$. Подставив эти значения, получаем:$BD^2 = a \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{2}$.

Отсюда следует, что длина отрезка $BD$ равна $\sqrt{\frac{ab}{2}}$, что и требовалось построить.

Ответ: Отрезок $BD$, построенный согласно описанному алгоритму, имеет длину $\sqrt{\frac{ab}{2}}$.