Номер 19.3, страница 143 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.3. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите катеты треугольника.

19.3. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором из вершины прямого угла проведена высота к гипотенузе. Обозначим катеты как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$, а отрезки, на которые высота делит гипотенузу, как $c_a$ и $c_b$ (проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно).

По условию задачи, нам даны длины этих отрезков: $c_a = 5$ см и $c_b = 20$ см.

1. Сначала найдем длину всей гипотенузы $c$. Она равна сумме длин ее отрезков:$c = c_a + c_b = 5 + 20 = 25$ см.

2. Теперь воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Согласно этим соотношениям, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Найдем катет $a$:$a^2 = c \cdot c_a$Подставим известные значения:$a^2 = 25 \cdot 5 = 125$$a = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ см.

Найдем катет $b$:$b^2 = c \cdot c_b$Подставим известные значения:$b^2 = 25 \cdot 20 = 500$$b = \sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5}$ см.

Таким образом, длины катетов треугольника равны $5\sqrt{5}$ см и $10\sqrt{5}$ см.

Ответ: катеты треугольника равны $5\sqrt{5}$ см и $10\sqrt{5}$ см.