Номер 18.25, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.25. Для сторон треугольника $ABC$ выполняется равенство $BC^2 = AC^2 + AC \cdot AB$. Докажите, что $\angle A = 2\angle B$.

18.25. Для сторон треугольника ABC выполняется равенство $BC^2 = AC^2 + AC \cdot AB$. Докажите, что $\angle A = 2\angle B$.

Обозначим стороны треугольника $ABC$ в соответствии с противолежащими им углами: $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Углы при вершинах A, B, C обозначим соответственно $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$.

Согласно условию задачи, для сторон треугольника выполняется равенство:$BC^2 = AC^2 + AC \cdot AB$В принятых обозначениях это равенство можно записать так:$a^2 = b^2 + b \cdot c$

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов является величиной постоянной и равной диаметру описанной окружности ($2R$):$\frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} = \frac{c}{\sin \angle C} = 2R$

Из теоремы синусов выразим длины сторон через синусы углов:$a = 2R \sin \angle A$$b = 2R \sin \angle B$$c = 2R \sin \angle C$

Теперь подставим эти выражения в исходное равенство $a^2 = b^2 + b \cdot c$:$(2R \sin \angle A)^2 = (2R \sin \angle B)^2 + (2R \sin \angle B)(2R \sin \angle C)$$4R^2 \sin^2 \angle A = 4R^2 \sin^2 \angle B + 4R^2 \sin \angle B \sin \angle C$

Поскольку радиус описанной окружности $R$ для невырожденного треугольника не равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $4R^2$:$\sin^2 \angle A = \sin^2 \angle B + \sin \angle B \sin \angle C$

Перенесем $\sin^2 \angle B$ в левую часть уравнения:$\sin^2 \angle A - \sin^2 \angle B = \sin \angle B \sin \angle C$

Воспользуемся тригонометрической формулой разности квадратов синусов: $\sin^2 x - \sin^2 y = \sin(x-y)\sin(x+y)$. Применив ее, получаем:$\sin(\angle A - \angle B)\sin(\angle A + \angle B) = \sin \angle B \sin \angle C$

Сумма углов в любом треугольнике равна $\pi$ (180°), то есть $\angle A + \angle B + \angle C = \pi$. Отсюда следует, что $\angle A + \angle B = \pi - \angle C$.Используя это, найдем синус суммы углов:$\sin(\angle A + \angle B) = \sin(\pi - \angle C) = \sin \angle C$

Подставим полученное выражение обратно в наше уравнение:$\sin(\angle A - \angle B)\sin \angle C = \sin \angle B \sin \angle C$

Угол $\angle C$ является углом треугольника, поэтому $0 < \angle C < \pi$, а это значит, что $\sin \angle C \neq 0$. Следовательно, мы можем безопасно разделить обе части равенства на $\sin \angle C$:$\sin(\angle A - \angle B) = \sin \angle B$

Данное тригонометрическое уравнение имеет два возможных семейства решений:

1) Аргументы синусов равны с точностью до периода $2\pi$:$\angle A - \angle B = \angle B + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.Отсюда $\angle A = 2\angle B + 2\pi k$.Поскольку $\angle A$ и $\angle B$ — углы треугольника, они положительны, а их сумма меньше $\pi$. Эти условия выполняются только при $k=0$.Таким образом, мы получаем $\angle A = 2\angle B$.

2) Сумма аргументов синусов равна $\pi$ с точностью до периода $2\pi$:$(\angle A - \angle B) + \angle B = \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.Отсюда $\angle A = \pi + 2\pi k$.Это невозможно, поскольку угол треугольника $\angle A$ должен быть строго меньше $\pi$ ($0 < \angle A < \pi$).

Следовательно, единственно возможным решением является $\angle A = 2\angle B$.

Ответ: Что и требовалось доказать.